class 10 maths chapter 1 exercise 1.2 solutions in hindi प्रश्नावली 1.2
[ इस चैप्टर को हल करने से पहले आपको भाज्य संख्या ,अभाज्य संख्या ,अभाज्य गुणनखंड ,LCM और HFC के बारे में अच्छी तरह से जान लेना चाहिए मैंने इसे डिटेल में बताया है आप उसे पढ़ सकते हैं और नॉट भी बना लीजिए। ]
1.निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिये:
(i) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(IV) 5005
(v) 7429
हल:-
(i) 140=2×70
=2×2×35
=2×2×5×7
(ii) 156=2×78
=2×2×39
=2×2×3×13
(iii) 3825=3×1275
=3×3×625
=3×3×5×125
=3×3×5×5×25
=3×3×5×5×5×5
(IV) 5005=5×1001
=5×11×91
=5×11×7×13
=5×7×11×13
(v) 7429=17×437
=17×19×23
2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF×LCM है।
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54
हल:-(i) 26 और 91
26 और 91 का LCM
26=2×13
91=7×13
LCM=2×7×13 =182
26 और 91 का HCF
26=2×13
91=7×13
HCF=13
जाँच करना है
दो संख्याओं का गुणनफल = HCF×LCM है।
26×91=182×13
2366=2366
दो संख्याओं का गुणनफल = HCF×LCM है।
(ii) 510 और 92
510 और 92 का LCM
510=2×5×51
92=2×2×23
LCM=2×2×5×23×51=23460
510 और 92 का HCF
510=2×5×51
92=2×2×23
HCF=2
जाँच करना है
दो संख्याओं का गुणनफल = HCF×LCM है।
510×92=23460×2
46920=46920
दो संख्याओं का गुणनफल = HCF×LCM है।
(iii) 336 और 54
336 और 54 का LCM
336=2×2××2×2×3×7
54=2×3×3×3
LCM=2×2×2×2×3×3×3×7=3024
336 और 54 का HCF
336=2×2××2×2×3×7
54=2×3×3×3
HCF=3×2=6
जाँच करना है
दो संख्याओं का गुणनफल = HCF×LCM है।
336×54=3024×6
18144=1844
दो संख्याओं का गुणनफल = HCF×LCM है।
3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिये:
(i) 12,15 और 21
(ii) 17,23 और 29
(iii) 8,9 और 25
हल:- (i) 12,15 और 21
12=1×2×2×3
15=1×3×5
21=1×3×7
LCM=2×2×3×5×7=420
HCF=3
(ii) 17,23 और 29
17=1×17
23=1×23
29=1×29
LCM=16×23×29=10672
HCF=1
(iii) 8,9 और 25
8=1×2×2×2
9=1×3×3
25=1×5×5
LCM=2×2×3×5×7=420
HCF=1
4. HCF(306,657)=9 दिया है। LCM (306,657) ज्ञात कीजिए ।
हल:- प्रश्न के अनुसार ,
पहली संख्या=306
दूसरी संख्या=657
HCF=9
LCM=?
हम जानते हैं,
पहली संख्या×दूसरी संख्या =HCF×LCM
306×657=9×LCM
=> LCM=309×657÷9
=> LCM=22557
5. जाच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6^n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है ।
हल:- माना कि, a=6^n
a=(2×3) ^n
a=2^n × 3^n , यहाँ 2 और 3 अभाज्य संख्याएँ हैं ।
हम जानते हैं कि किसी संख्या का अंत शून्य में तब होता है जब 2 और 5 के धनात्मक घात इसके गुणनखंड हों
अब,a=2^n.3^n यह गुणनखंड अद्वतीय है [अंकगणित के आधारभूत प्रमेय से]
अतः 2 और 3 के अतिरिक्त कोई दूसरा अभाज्य संख्या a का गुणनखंड नहीं हो सकता है ।
अतः 5,a का गुणनखंड नहीं हो सकता है । इसलिए 6^n का अंत शून्य में नहीं हो सकता है अर्थात 6^n का इकाई अंक शून्य नहीं हो सकता है ।
6. व्यख्या कीजिये कि 7×11×13+13 और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं ।
हल:- माना a=7×11×13+13 और b=7×6×5×4×3×2×1+5
तब a=13(7×11+1)=13×78=13×13×2×3
a, अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है । अतः यह भाज्य संख्या है ।
पुनः b=5(7×6×4×3×2×1+1)
=5×1008=5×2×2×2×2×3×3×7
b, अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है । अतः यह एक भाज्य संख्या है ।
7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है । इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं ,जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं । मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं । कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे ?
हल:-सोनिया के द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने में लगा समय =18 मिनट
रवि के द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने में लगा समय =12 मिनट
सोनिया और रवि एक ही स्थान से , एक ही समय एक ही दिशा में चलना प्रारंभ करते हैं । अतः वे उतने ही समय बाद मिलेंगे जो 18 और 12 का LCM होगा ।
अब 18=2×3×3
12=2×2×3×3
LCM=2×2×3×3=36
इसलिए वे पुनः 36 मिनटों के बाद मिलेंगे ।