क्षेत्रमिति ( Mensuration) का मुख्य टॉपिक ” आकृतियां ” के बारे में मैंने डिटेल से बताया है। पहले उसको पढ़ ले।
क्षेत्रमिति में ख़ासकर आकृतियों के परिमाप (Perimeter) , क्षेत्रफल (Area) और आयतन (Volume) निकाला जाता है।
इस पोस्ट को ध्यान से पढ़ने के बाद आप क्षेत्रमिति पर अच्छी पकड़ बना पाएंगे। परिमाप और क्षेत्रफल को गहन तरीका से बताया गया है।
1.परिमाप (Perimeter)
परिमाप दो शब्दों से मिलकर बना हुआ है। परि – चारों ओर होता है। माप – मापना।
मतलब किसी भी आकृति की चारों ओर की माप को परिमाप कहा जाता है।
- परिमाप को परिधि (circumference) भी कहा जाता है। और परिमीति भी कहा जाता है।
- परिधि शब्द का उपयोग वृत (Circle ) जैसे आकृतियों के लिए करते हैं।
- किसी भी आकृति का परिमाप बिना किसी सूत्र से निकाला जा सकता है।
- परिमाप की इकाई को सिर्फ़ सेंटीमीटर, मीटर, किलोमीटर etc में लिखा जाता है। इसमें (सेंटीमीटर)², (मीटर)² etc. नहीं लिखा जाता है। क्योंकि परिमाप में इकाइयों को जोड़ा जाता है। गुणा नहीं किया जाता है।
त्रिभुज का परिमाप ( Perimeter of Triangle)
- त्रिभुज के तीनों भुजाओं जो जोड़ दिया जाता है।
- अगर समबाहु त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई a सेंटीमीटर है, तो समबाहु त्रिभुज की परिमाप = 3a होगा। मतलब 3 × एक भुजा ।
| उदाहरण: एक समबाहु त्रिभूज की एक भुजा 7 मीटर है। तो परिमाप ज्ञात करें? हल: समबाहु त्रिभूज की परिमाप = 3 × एक भुजा= 3 × 7 मीटर= 21 मीटर |
चतुर्भुज का परिमाप (Perimeter of Quadrilateral)
- किसी भी चतुर्भुज का परिमाप, चारों भुजाओं का जोड़ होगा।
- वर्ग की परिमाप = 4 × एक भुजा होगा। क्योंकि वर्ग की सभी भुजा बराबर होती है।
- आयत का परिमाप = 2 × पहली भुजा + 2 × पहली भुजा का आसन्न भुजा।
- वृत की आकृति गोलाकार होती है। इसलिए इसका परिमाप = 2πr (यहां, π = 22/7, r = वृत की त्रिज्या)
| उदाहरण 1 : एक वर्ग की एक भुजा 10 सेंटीमीटर है तो उसे वर्ग का परिमाप ज्ञात करें? हल: वर्ग का परिमाप = 4 × एक भुजा= 4 × 10 cm= 40 cm उदहारण 2: एक आयत की लंबाई 4 मीटर है और चौड़ाई 3 मीटर है तो उसे आयत की परिमिति ज्ञात करें? हल: आयत की परिमिति = 2 ( लंबाई × चौड़ाई)= 2 × (4m+3m)= 2 × 7 m= 14 m उदाहरण 3: एक आयत की लंबाई 5 मीटर है और चौड़ाई 3 सेमी है तो उसे आयत का परिमाप ज्ञात करें? हल: ध्यान रखना जरूरी है की किसी भी आकृति की परिमाप ज्ञात करने से पहले उसका सभी इकाइयां एक समान हों। यहां इस आयत में लंबाई 5 मीटर है मतलब इसकी इकाई मीटर में लिखा हुआ है। वहीं चौड़ाई 3 सेंटीमीटर है इसकी इकाई सेंटीमीटर में लिखा हुआ है। से पहले हमें दोनों इकाइयों को या तो सेंटीमीटर में बदलने या तो मीटर में बदल लें। हम यहां सेंटीमीटर में बदलते हैं। लंबाई = 5 मीटर = 500 सेंटीमीटर { 100 सेंटीमीटर=1 मीटर होता है।}चौड़ाई = 3 सेंटीमीटर आयत की परिमिति = 2 × ( लंबाई+चौड़ाई)= 2 × (500 cm + 3 cm)= 2 × 503 cm= 1006 cm उदहारण 4 : एक आयत की एक भुजा 10 सेंटीमीटर है और आसन्न भुजा 5 सेंटीमीटर है तो उस आयत की परिमिति ज्ञात करें ? हल: आसन्न भुजा का मतलब होता है एक साथ लगे हुए भुजा। इसलिए इस आयत में लंबाई = 10 सेंटीमीटर होगा। और चौड़ाई = 5 सेंटीमीटर होगा। आयत की परिमिति = 2 × ( लंबाई+चौड़ाई)= 2 × (10 cm + 5 cm)= 2 × 15 cm= 30 cm |
2. क्षेत्रफल (Area)
क्षेत्रफल का माप परिमाप जैसे नहीं किया जाता है।
क्षेत्रफल पूरे परत को मापता है। चालिए इसे उदाहरण द्वारा समझते हैं।
जैसे, किसी समतल पर पंक्तिबद्ध तरीके से सेब रखा जाए। 5 पंक्ति लगाया गया जिसके प्रत्येक पंक्ति में 10 सेब रखा गया। क्या आप बता सकते हैं इस समतल पर कितने सेब रखा गया है ?
समतल पर 5 × 10 = 50, सेब रखा गया है। इसको ही क्षेत्रफल का माप कहा जाता है। इससे पूरे समतल का माप हो गया।
क्षेत्रफल की इकाई को सिर्फ़ वर्गसेंटीमीटर, वर्गमीटर, वर्गकिलोमीटर etc में लिखा जाता है। या, (सेंटीमीटर)², (मीटर)² etc. में लिखा जाता है। क्योंकि क्षेत्रफल की इकाई को गुणा किया जाता है। जोड़ा नहीं जाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle)
सभी त्रिभुज का क्षेत्रफल का सूत्र अलग – अलग होता है। वैसे एक सूत्र सभी त्रिभुज के मान्य होता है। यह सूत्र है। त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2×आधार × ऊंचाई.
- समबहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 3/2 × (एक भुजा), यह सूत्र त्रिभुज के यूनिवर्सल सूत्र से निकाला गया है।
- समकोण समद्विबाहू त्रिभुज का क्षेत्रफल का क्षेत्रफल क्या होगा ? इसको कोशिश करें।
- विषमबहु त्रिभुज का क्षेत्रफल का अलग सूत्र होता है । जिसे हीरोन का सूत्र कहा जाता है। यह सूत्र भी सभी त्रिभुज के लिए मान्य होता है । जिसमें तीनों भुजाओं का माप दिया रहता है। हीरोन का सूत्र नीचे बताया गया है।
त्रिभुज का “हीरोन का सूत्र” (Heron’s Formula of Triangle)
हीरोन के सूत्र में त्रिभुज के तीनों भुजा का जोड़ करके 2 से भाग दिया जाता है। जिसे अर्धपरिमिति (semi-perimeter) कहा जाता है। इसको शॉर्ट रूप में S लिखा जाता है।
अगर त्रिभुज के तीनों भुजा a, b और c है तो, S = (a+ b+c)/2 होगा।
| ∆ का सूत्र =√{ S (S-a)(S-b)(S-c)} |
| उदाहरण : एक त्रिभूज की तीनों भुजाएं 12cm, 10cm और 5cm हैं, तो इस त्रिभूज का क्षेत्रफल निकले ? हल : यहां त्रिभूज में a = 12 cm, b = 10 cm और c = 5 cm है। इसलिए S = (a + b + c)/2S = (12 + 10 + 5)/2 cmS = 27/2 cm हीरोन सूत्र से, त्रिभूज का क्षेत्रफल = √S(S-a)(S-b)(S-c)= √ 27/2×(27/2-12)×(27/2-10)×(27/2-5)= √ (27/2 × 3/2 × 7/2 × 17/2)= √ (3×3×3×3×7×17)/(2×2×2×2)= 3×3/2×2√7×17 cm²= 9/4√119 cm² |
चतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of Quadrilateral )
किसी भी चर्तुभुज के लिए सर्वमान्य सूत्र आधार × ऊंचाई होता है। लेकिन कुछ चर्तुभुज का विशिष्ट क्षेत्रफल होता है। नीचे बताया गया है।
- सभी चतुर्भुज का क्षेत्रफल अलग – अलग तरीके से निकाला जाता है।
- वर्ग की सभी भुजा बराबर होता है। इसलिए वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² होता है।
- आयत में आमने-सामने की भुजा बराबर होता है। इसलिए आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई होता है।
- समचतुर्भूज का क्षेत्रफल = दोनों विकर्ण का गुणनफल /2
- समांतर चर्तुभुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई
- समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (दोनों समानांतर भुजाओं का योग ÷ 2 ) × ऊंचाई
3.क्षेत्रमिति के सूत्र ( Formula of Mensuration)
| ✓ समबाहु त्रिभुज की परिमाप = 3 × एक भुजा ✓वर्ग की परिमाप = 4 × एक भुजा ✓आयत का परिमाप = 2 × पहली भुजा + 2 × पहली भुजा का आसन्न भुजा ✓वृत की परिमाप = 2πr (यहां, π = 22/7, r = वृत की त्रिज्या) ✓त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2×आधार × ऊंचाई ✓समबहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 3/2 × (एक भुजा) ✓हीरोन के नियम से त्रिभुज क्षेत्रफल = √{ S (S-a)(S-b)(S-c)}, त्रिभुज के तीनों भुजा a, b और c है तो, S = (a+ b+c)/2 होगा। ✓चर्तुभुज का क्षेत्रफल = bh (आधार × ऊंचाई) ✓वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² ✓आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई ✓समचतुर्भूज का क्षेत्रफल = pq /2 (p और q समचतुर्भुज का विकर्ण हैं।) ✓समांतर चर्तुभुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई ✓समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (दोनों समानांतर भुजाओं का योग ÷ 2 ) × ऊंचाई ✓वृत क्षेत्रफल = πr² (यहां, π = 22/7, r = वृत की त्रिज्या) |