बहुपद (Polynomial) Class 10 maths Chapter 2

बहुपद क्या होता है? घात,भेद,शुन्यक,गुणांक,रैखिक,द्विघात,त्रिघात बहुपदों के बारे में डिटेल से बताया गया है.

इस चैप्टर में डिटेल से बताएंगे बहुपद के बारे में , खैर ‘बहुपद’ नाम कुछ अजीब लगता होगा और कठिन भी मालूम पड़ता होगा । लेकिन ऐसा बिल्कुल भी नहीं है । बहुपद को अंग्रेजी में Polynomial कहते हैं । मैं आशा करता हूँ कि आप सब लोग बेसिक बीजगणित के बारे में पता होगा। जैसे :- चर, अचर, व्यंजक, बीजीय समीकरण के बारे में जानते होंगे ।

[1] बहुपद क्या होता है?

बहुपद एक बीजीय व्यंजक होता है जो एक नियम से लिखा होता है । x⁸+2x⁷-x⁶+x⁵-7 ये एक बहुपद है ।

• बहुपद का घात हमेशा धन पूर्णांक होता है ।

• बहुपद का घात भिन्न संख्या में नहीं होता है।

• 1/x-1 ,√x+2, 1/x²-5+3 …ऐसे बीजीय व्यंजक बहुपद नहीं होते हैं ।

Q1.क्या शून्य एक बहुपद है ?

हाँ ,0 (शून्य ) एक बहुपद है क्योंकि इसे बहुपद एक्सप्रेशन में लिख सकते हैं ।

0.x⁰+0.x¹+0.x²+0.x³..+0.xⁿ हाँ, शून्य (0) एक बहुपद है ।

इसलिए हम कह सकते हैं कोई भी अचर संख्या को बहुपद के रूप में लिखा जा सकता है। सभी संख्या (अचर) बहुपद होता है।

Q2.क्या x एक बहुपद है ?

हाँ , सिर्फ x को भी एक बहुपद कह सकते हैं क्योंकि x को बहुपद के एक्सप्रेशन के रूप में लिखा जा सकता है ।0.x⁰+1.x¹+0.x²+0.x³..+0.xⁿ= x

Q3.क्या x² एक बहुपद है ?

हाँ , सिर्फ x² को भी एक बहुपद कह सकते हैं क्योंकि x² को बहुपद के एक्सप्रेशन के रूप में लिखा जा सकता है 0.x⁰+0.x¹+1.x²+0.x³..+0.xⁿ=x²

Q4.क्या x²+1 एक बहुपद है ?

हाँ , x²+1 भी एक बहुपद कह सकते हैं । क्योंकि x²+1 को बहुपद के एक्सप्रेशन के रूप में लिखा जा सकता है 1.x⁰+0.x¹+1.x²+0.x³..+0.xⁿ= x²+1

(क) बहुपद का घात (Power of Polynomial)

किसी भी बहुपद के सबसे अधिकतम घात (Power) को बहुपद का घात कहते हैं ।

जैसे :-

• 5x+7 चर x घात 1 का बहुपद है ।

• 5y²-6y+3 चर में घात 2 का बहुपद है।

• 5x³+4x²+x-√2 चर x में घात 3 का बहुपद है।

• 7u⁸-⅗u⁶+5u²+u-7 चर u में घात 8 का बहुपद है।

(ख) बहुपद के भेद (Types of Polynomial )

बहुपद को घात के अनुसार कुछ भागों में बांटा गया है ।

• शून्य बहुपद
• रैखिक बहुपद
• द्विघात बहुपद
• त्रिघात बहुपद

● शून्य बहुपद (Zero polynomial)

वैसा बहुपद जिसका अधिकतम घात शून्य हो उसे शून्य बहुपद कहते हैं।

जैसे :- 0, 8, 7,-2, ¾, √3 etc ऐसी बहुपद शून्य बहुपद कहलाती है। क्योंकि इसमें चर पर अधिकतम घात 0 है । 0.u⁰ ,8.y⁰, -2.t⁰, ¾.h⁰

● रैखिक बहुपद (Linear polynomial)

वैसा बहुपद जिसका अधिकतम घात एक हो उसे रैखिक बहुपद कहते हैं ।

रैखिक बहुपद को व्यापक रूप में लिखा जाता है : ax+b ; यहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ है और a≠0.

जैसे :- x, x+5 ,y+8 ,2x-6,√3x+7, y-√3 , x-⅘, 4z+6 , ⅖u-1 इत्यादि । इन सभी चरों पर अधिकतम घात 1 है ।

● द्विघात बहुपद (qudratic polynomial)

वैसा बहुपद जिसका अधिकतम घात 2 हो उसे द्विघात बहुपद कहते हैं ।

द्विघात बहुपद का व्यापक रूप में लिखा जाता है : ax²+bX+c; ax+b ; यहाँ a,b और c वास्तविक संख्याएँ है और a≠0.

जैसे :- 2x²+6x-¾ ,y²-3 ,2-x²+√3x , u/3-2u²+5, etc इन सभी चरों का अधिकतम घात 2 है ।

● त्रिघात बहुपद (cubic polynomial)

वैसा बहुपद जिसका अधिकतम घात 3 हो उसे त्रिघात बहुपद कहते हैं ।

त्रिघात बहुपद का व्यापक रूप है : ax³+bx²+CX+d; ax+b ; यहाँ a,b, cऔर d वास्तविक संख्याएँ है और a≠0.

जैसे :- 2-x³, x³, √5x²,7-x²-x³, etc इन सभी चरों का अधिकतम घात 3 है ।

(ग) बहुपद का शुन्यक

किसी भी बहुपद को P से डिनोट करते हैं । जैसे :- 5y+2 है तो इसे P(y) से डिनोट करेंगे । इसको लिख सकते हैं P(y)=5y+2.

यहाँ y के चर है तो y के जगह पर कुछ मान देकर पता करते हैं कि आखिर क्या निकलता है ।

P(y)=5y+2, {y=0}

P(0)=5×0+2,

P(0)=2

P(1)=5×1+2, {y=1}

P(1)=7

P(2)=5×2+2, {y=2}

P(2)=10+2

P(2)=12

आप देख चुके हैं कि y = 0,1,2 रखने पर P(0)=2,P(1)=7,P(2)=12 होता है । इस तरह से हम y के जगह कोई भी वास्तविक संख्या रख सकते हैं ।

y के जगह पर कौन सा मान रखने पर P(y) = 0 होगा ।

P(y)=5y+2 {y=-⅖}

P(-⅖)=-5×⅖+2

P(-⅖)= 0

इसका मतलब बहुपद P(y)=5y+2 का शुन्यक -⅖ होगा ।

किसी भी बहुपद में चर के जगह ऐसा मान रखने पर अगर बहुत को शून्य बना दे तो वह मान बहुपद का शुन्यक कहलाता है ।

रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद और त्रिघात बहुपद के शुन्यक निकलने का सूत्र भी होता है । इसके बारे में सूत्र सेक्शन में बताया गया है।

[2] बहुपद के शुन्यकों का ज्यामितीय अर्थ

क्या आप किसी भी द्विघात बहुपद या त्रिघात बहुपद को ग्राफ पेपर पर निरूपित कर सकते है ? किसी भी बहुपद को ग्राफ पेपर पर निरूपित करने के लिए क्लास 9 में जान गए होंगे । अगर आप 9 क्लास में नहीं पढ़े हैं तब आप नीचे कुछ पॉइंट को ही याद रख सकते हैं।

(क) रैखिक बहुपद का ग्राफ पर शुन्यक

किसी भी रैखिक बहुपद का अधिकतम शुन्यक सिर्फ एक हो सकता है।

उदाहरण I : y=2x+3

y=2x+3 ये बहुपद ग्राफ पेपर पर x-अक्ष पर -3/2 पर एक ही जगह काटती है । इसलिए y=2x+3 बहुपद का शुन्यक सिर्फ -3/2 होगा ।

• रैखिक बहुपद का सिर्फ एक ही शुन्यक होता है । अगर बहुपद ax+b, a≠0 है, तो इसका शुन्यक -b/a होगा ।

Q. 5x+8 का शुन्यक क्या होगा ?

5x+8 में a=5 है और b=8 है । इसलिए शुन्यक होगा -b/a = -8/5

(ख) द्विघात बहुपद का ग्राफ पर शुन्यक

जब द्विघात बहुपद हो तो उसके शुन्यकों की संख्या दो से ज्यादा कभी भी नहीं हो सकती है। या तो दो शुन्यक होगा ,या सिर्फ एक नहीं तो कुछ भी शुन्यक नहीं होगा ।

● द्विघात बहुपद का दो शुन्यक

किसी भी द्विघात बहुपद का अधिकतम शुन्यक सिर्फ दो हो सकता है। इससे ज्यादा नहीं हो सकता है।

y=x²-3x-4 बहुपद का ग्राफ पेपर पर निरूपित करते हैं उसके बाद पता करेंगे कि कितना शुन्यक निकलेगा ।

y=x²-3x-4 बहुपद का ग्राफ पेपर पर x-अक्ष पर दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। (-1,0) और (4,0) । y=x²-3x-4 इस बहुपद में x=-1 रखने पर y का मान शून्य होगा और x=4 रखने पर भी y का मान शून्य होगा । y=x²-3x-4 बहुपद का दो शुन्यक है।

● द्विघात बहुपद का एक शुन्यक

किसी द्विघात बहुपद के एक शुन्यक भी हो सकते हैं। अगर एक शुन्यक होगा तो द्विघात बहुपद के इस तरह का ग्राफ पर निरूपण होगा ।

जब किसी भी द्विघात बहुपद का इस तरह का ग्राफ निरूपण हो तब एक शुन्यक होगा ।

● द्विघात बहुपद का कोई शुन्यक

जब कोई द्विघात बहुपद का ग्राफ पर इस तरह का निरूपण स्थापित हो तब ऐसी द्विघात बहुपद का कोई शुन्यक नहीं निकलता है।

(ग) त्रिघात बहुपद का ग्राफ पर शुन्यक

किसी भी त्रिघात बहुपद का अधिकतम तीन शुन्यक हो सकता है । चलिये देखते हैं प्रत्येक स्थिति में ग्राफ पर कैसे निरूपित किया जाता है।

● त्रिघात बहुपद का तीन शुन्यक

किसी भी त्रिघात बहुपद का अधिकतम तीन शुन्यक हो सकता है । तीन से ज्यादा बहुपद कभी नहीं हो सकता है। और ग्राफ पर x-अक्ष को तीन बार प्रतिच्छेद करेगा ।

● त्रिघात बहुपद का दो शुन्यक

किसी भी त्रिघात बहुपद का दो शुन्यक भी हो सकता है । जब दो शुन्यक होगा तब ग्राफ पर x-अक्ष पर दो बार प्रतिच्छेद करेगा ।

● त्रिघात बहुपद का एक शुन्यक

त्रिघात बहुपद का सिर्फ एक शुन्यक भी हो सकता है । जब एक शुन्यक होगा तब ग्राफ पर x-अक्ष पर एक बार प्रतिच्छेद करता है।

● त्रिघात बहुपद का कोई शुन्यक नहीं

ऐसा भी हो सकता है किसी त्रिघात बहुपद का कोई शुन्यक नहीं हो । अगर त्रिघात बहुपद का कोई शुन्यक नहीं होगा तो ग्राफ पर x-अक्ष पर एक बार भी प्रतिच्छेद नहीं करता है ।

[3] किसी बहुपद के शुन्यकों और गुणांकों में संबंध

बहुपद के शुन्यक क्या होते हैं इसके बारे में आप सभी को पता चल गया होगा । लेकिन गुणांक बहुत लोग नहीं जानते होंगे ।

(क) बहुपद का गुणांक क्या होता है?

किसी भी बहुपद में चर के गुणांक को बहुपद का गुणांक कहा जाता है। जैसे :- ax+b ,यहाँ a और b चर के साथ गुना किया हुआ है । इसलिए a और b ,ax+b रैखिक बहुपद का गुणांक होगा ।

नोट :- “b ” भी चर का गुणांक होगा । इसे ऐसे लिख सकते हैं ax+bx⁰

2x²-3x+7 एक द्विघात बहुपद है । इसके चर का गुणांक होगा। 2, -3, और 7 . यहाँ 2x²-3x+7 को 2x²+(-3)x+7 ऐसे लिखा जाएगा ।

इसी तरह किसी भी बहुपद के गुणांक को लिखा जाएगा ।

(ख) बहुपद के गुणांक और शुन्यक में संबंध

बहुपद के गुणांक और शुन्यक में सम्बंध से किसी भी बहुपद का शुन्यक आराम से निकाल सकते हैं।

• किसी रैखिक बहुपद ax+b का शुन्यक -b/a होगा । रैखिक बहुपद का सिर्फ एक ही शुन्यक होगा । जैसे:- 5x-9 का शुन्यक -(-9/5)=9/5 होगा।

• किसी द्विघात बहुपद का अधिकतम शुन्यक दो होगा । शुन्यक को अल्फा (α)और बीटा (β) से डिनोट करते हैं । अगर द्विघात बहुपद ax²+bx+c है । तब शुन्यक और गुणक में संबंध होगा । α+β = -b/a, αβ=c/a , शुन्यकों का योग=-(x का गुणांक)/x²का गुणांक

• किसी त्रिघात बहुपद के अधिकतम शुन्यक तीन होते हैं । इसके शुन्यकों को अल्फा (α) बीटा (β) और गामा (γ) से डिनोट करते हैं । अगर त्रिघात बहुपद ax³+bx²+CX+d हो तो शुन्यक और गुणांक में संबंध होंगे । α+β+γ=-b/a, αβ+βγ+γα=c/a, αβγ=-d/a

[4] बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म

किसी त्रिघात बहुपद के अधिकतम तीन शुन्यक हो सकते हैं। अगर सिर्फ एक शुन्यक ही हो तब बाकी दो शुन्यक आप आराम से निकाल सकते हैं। माना, एक त्रिघात बहुपद x³-3x²-x+3 है। और इसका एक शुन्यक 1 है ,तो हम कह सकते हैं कि x³-3x²-x+3 का एक गुणनखन x-1 होगा ।

इसलिये x³-3x²-x+3 में x-1 से भाग देकर बाकी दो गुणनखंड निकाल सकते हैं । x³-3x²-x+3 में x-1 से भाग देने पर x²-2x-3 प्राप्त होगा । अब x²-2x-3 का गुणनखंड (x+1)(x-3) होगा ।

इसलिए, x³-3x²-x+3=(x-1)(x+1)(x-3) होगा ।

त्रिघात बहुपद x³-3x²-x+3 का शुन्यक 1,-1 और 3 होगा।

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का मतलब यह होता है , यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं जहाँ g(x)≠0 हो तो हम बहुपद q(x) और r(x) ऐसे प्राप्त कर सकते हैं कि p(x)=g(x)×q(x)+r(x)

[5] सूत्र और सारांश

• एक घात वाले रैखिक बहुपद ,दो घात वाले द्विघात बहुपद और तीन घात वाले त्रिघात बहुपद कहलाता है।

• बहुपद को p(x) से डिनोट करते हैं। और y=p(x) होता है।

• रैखिक बहुपद के अधितम एक शुन्यक हो सकते हैं। द्विघात बहुपद के अधिकतम दो और त्रिघात बहुपद के अधिकतम तीन शुन्यक हो सकते हैं ।

• यदि द्विघात बहुपद ax²+bx+c के शुन्यक α और β हैं तो α+β=-b/a और αβ=c/a होगा ।

• यदि त्रिघात बहुपद ax³+bx²+cx+d के शुन्यक α, β और γ हो तो α+β+γ=-b/a, αβ+βγ+γα=c/a, αβγ=-d/a होगा ।

【आप इस आर्टिकल को class 10 के बहुपद चैप्टर का नोट्स बनाने के लिए उपयोग कर सकते हैं , अगर किसी भी पॉइंट पर कुछ भी दिक्कत है उसे आप कमेंट के लिखे 】

{ लेखक का नाम रंजन कुमार सिंह है, इन्होंने Mathematics से Honors किया है । इनको बेसिक गणित में विशेष रुचि है। }

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