विभाज्यता का नियम ( Rules of Divisibility) fundamental maths

विभाज्यता का नियम ( Rules of Divisibility) बेसिक गणित का आत्मा है । जो पढाई कर रहा है और इस टॉपिक को अभी तक नहीं पढ़ा है उसे कभी-न-कभी विभाज्यता का नियम पढ़ना ही पड़ेगा ।

विभाज्यता (Divisibility) का नियम का मतलब होता है । कौन-सी संख्या किस-किस संख्या से पूर्ण विभाजित होगी इसका नियम ।

तो चलिए डिटेल में जानते हैं । यहाँ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 और 11 संख्याओं से कौन -कौन-सी संख्याएँ पूर्ण विभाजित हो सकती है। इसके बारे बताऊंगा आगे सभी संख्याओं के बारे में जानने की जरूरत नहीं है इतना जानने के बाद आप खुद-ब-खुद निकल सकते हैं ।

1 से विभाज्यता का नियम

किसी भी संख्या में 1 से पूर्ण विभाजित हो जाता है । 1 से विभाज्यता का कोई नियम नहीं है । हरेक संख्या का गुणनखंड 1 हो सकता है ।

2 से विभाज्यता का नियम

दो से ऐसी संख्या विभाजित हो सकती है ,जिस संख्या के इकाई अंक (अंतिम अंक) के स्थान पर 0,2,4,6 और 8 में से कोई भी एक एक रहें ।

दूसरा तरीका है 2 के विभाज्यता को जांच करने के लिए 2 से उस संख्या में भाग दीजिए अगर पूर्ण रूप से भाग लग जाये तो वह संख्या 2 से विभाजित होगा । जैसे:-

संख्याएँ	2 से विभाजित है या नहीं
4360	यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है ,क्योंकि 4360 संख्या के इकाई अंक में 0 है ।
76453	यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित नहीं है, क्योंकि 76453 संख्या के इकाई अंक में 3 है ।
768	यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है, क्योंकि 768 संख्या के इकाई अंक में 8 है।
6576	यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है, क्योंकि 6576 संख्या के इकाई अंक में 6 है।
7654	यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है , क्योंकि 7654 संख्या के इकाई अंक में 4 है।
5782	यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है, क्योंकि 5782 संख्या के इकाई अंक में 2 है ।
567829	यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित नहीं है , क्योंकि 567829 संख्या के इकाई अंक में 9 है।

3 से विभाज्यता का नियम

किसी भी संख्या के सभी अंकों का योग अगर 3 से पूर्ण विभाजित हो जाये तो वह संख्या भी 3 से पूर्ण विभाजित होगा । जैसे:-

संख्याएँ	3 से विभाजित है या नहीं
4360	4+3+6+0=13 , 13÷3=? इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है, इसलिए 4360 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है।
76453	7+6+4+5+3=25 , 25÷3=? इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है, इसलिए 76453. संख्या 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है।।
768	7+6+8=21, 21÷3=7 इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित है, इसलिए 768 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित है।
6576	6+5+7+6=24 , 24÷3=8 इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित है, इसलिए 6576 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित है।
7654	7+6+5+4=22 , 22÷3=? इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है, इसलिए 7654 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है।
5781	5+7+8+1=21, 21÷3=7 इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित है,इसलिए 5781 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित है।
567829	5+6+7+8+2+9=37 , 37÷3=? इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है, इसलिए 567829 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है।

4 से विभाज्यता का नियम

किसी भी संख्या के अंतिम दो अंक (दहाई और इकाई ) 4 से विभाजित है तो वह संख्या 4 से विभाजित हो जाएगा।

संख्याएँ	4 से विभाजित है या नहीं
4360	4360 संख्या का अंतिम दो अंक 60 है । और 60÷4=15, 60, 4 से पूर्ण विभाजित है। इसलिए 4360 संख्या 4 से पूर्ण विभाजित होगा ।
76453	76453 संख्या का अंतिम दो अंक 53 है । और 53÷4=?, 53, 4 से पूर्ण विभाजित नहीं है। इसलिए 76453 संख्या 4 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा ।
768	768 संख्या का अंतिम दो अंक 68 है । और 68÷4=?, 68, 4 से पूर्ण विभाजित नहीं है। इसलिए 768 संख्या 4 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा ।

5 से विभाज्यता का नियम

किसी भी संख्या के इकाई अंक पर (अंतिम अंक) सिर्फ 5 या 0 रहने पर ही वह संख्या 5 से विभाजित होता है।

संख्याएँ	5 से विभाजित है या नहीं
780	780 संख्या के इकाई अंक 0 है इसलिए संख्या 780 ,5 से पूर्ण विभाजित होगा।
565	565 संख्या के इकाई अंक 5 है इसलिए संख्या 565, 5 से पूर्ण विभाजित होगा।
705	705 संख्या के इकाई अंक 5 है इसलिए संख्या 705, 5 से पूर्ण विभाजित होगा।
687	687 संख्या के इकाई अंक 7 है इसलिए संख्या 687, 5 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा।

6 से विभाज्यता का नियम

वैसी संख्या जो 2 और 3 दोनों से पूर्ण विभाजित हो ,वह संख्या 6 से पूर्ण विभाजित होगा।

संख्याएँ	6 से विभाजित है या नहीं
510	510 संख्या 2 और 3 से पूर्ण विभाजित है। इसलिए 510 ,6 से भी पूर्ण विभाजित होगा ।
760	760 संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है लेकिन 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है इसलिए 760 , 6 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा।
801	801 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित है लेकिन 2 से पूर्ण विभाजित नहीं है। इसलिए 801, 6 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा ।

7 से विभाज्यता का नियम

किसी भी संख्या के अंतिम अंक (इकाई अंक) को 5 से गुना कर बाकी बची संख्या को जोड़ने पर जो प्राप्त होता है वह अगर 7 से विभाजित हो जाए तो वह संख्या 7 से विभाजित होगा ।

जैसे :- 512 :- 51+2×5=61 यहाँ 61 संख्या 7 से विभाजित नहीं होगा इसलिए 512, 7 से विभाजित नहीं होगा ।

364 :- 36+4×5=56 यहाँ 56 संख्या 7 से विभाजित है इसलिए 364, 7 से विभाजित होगा।

8 से विभाज्यता का नियम

किसी भी संख्या के अंतिम तीन अंक (सैकड़ा,दहाई,इकाई) अगर 8 से पूर्ण विभाजित है तो वह संख्या 8 से पूर्ण विभाजित होगा।

संख्याएँ	8 से विभाजित है या नहीं
9008	9008 संख्या के अंतिम तीन अंक 008 (008÷8=1) 8 से पूर्ण विभाजित है। इसलिए 9008 संख्या 8 से पूर्ण विभाजित होगा।
7864	7864 संख्या के अंतिम तीन अंक 864 (864÷8=108) 8 से पूर्ण विभाजित है । इसलिए 7864 संख्या 8 से पूर्ण विभाजित होगा।
7861	7861 संख्या के अंतिम तीन अंक 861 (861÷8=?) 8 से पूर्ण विभाजित नहीं है। इसलिए 7861 संख्या 8 से पूर्ण विभाजित होगा ।

9 से विभाज्यता का नियम

किसी भी संख्या के सभी अंकों का योग अगर 9 से पूर्ण विभाजित हो जाये तो वह संख्या भी 9 से पूर्ण विभाजित होगा।

संख्याएँ	9 से विभाजित है या नहीं
7965	7+9+6+5=27, यह 9 से पूर्ण विभाजित होगा । क्योंकि सभी अंकों को जोड़कर 27 हुआ और 27 में 9 से पूर्ण भाग लग जाता है । 27÷9=3
7843	7+8+4+3=22, यह 9 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा। क्योंकि सभी अंकों को जोड़कर 22 हुआ और 22 में 9 से पूर्ण भाग नहीं लगता है। 22÷9=?
8172	8+1+7+2=18, यह 9 से पूर्ण विभाजित होगा । क्योंकि सभी अंकों को जोड़कर 18 हुआ और 18 में 9 से पूर्ण भाग लग जाता है । 18÷9=2

10 से विभाज्यता का नियम

किसी भी संख्या के अंतिम अंक (इकाई का अंक) 0 हो तो ही वह संख्या 10 से पूर्ण विभाजित होगा ।

संख्याएँ	10 से विभाजित है या नहीं
890	890 संख्या के अंतिम अंक 0 है इसलिए यह संख्या 10 से पूर्ण विभाजित होगा।
879	879 संख्या के अंतिम अंक पर 0 नहीं है इसलिए यह संख्या 10 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा।
800	800 संख्या के अंतिम अंक पर 0 है इसलिए यह संख्या 10 से पूर्ण विभाजित होगा।

11 से विभाज्यता का नियम

किसी भी संख्या के सम स्थानों वाले अंकों का योग और विषम स्थानों वाले अंकों के योग का अंतर (घटाव) 0 या 11,22,33… हो तो वह संख्या 11 से विभाजित होगा ।

जैसे :-

उदाहरण I :- 857912

• पहला स्थान (विषम ) – 8
• दूसरा स्थान (सम ) – 5
• तीसरा स्थान (विषम ) – 7
• चौथा स्थान (सम ) – 9
• पाँचवाँ स्थान (विषम ) – 1
• छठा स्थान (सम ) – 2

सम स्थानों वाले संख्याओं का योग :- 5+9+2=16

विषम स्थानों वाले संख्याओं का योग :- 8+7+1=16

(विषम स्थानों वाले संख्याओं का योग) – (सम स्थानों वाले संख्याओं का योग)

16-16=0

संख्या 857912 , 11 से पूर्ण विभाजित होगा ।

उदाहरण II :- 8179026

• पहला स्थान (विषम ) – 8
• दूसरा स्थान (सम ) – 1
• तीसरा स्थान (विषम ) – 7
• चौथा स्थान (सम ) – 9
• पाँचवाँ स्थान (विषम ) – 0
• छठा स्थान (सम ) – 2
• सातवां स्थान (विषम ) – 6

सम स्थानों वाले संख्याओं का योग :- 1+9+2=12

विषम स्थानों वाले संख्याओं का योग :- 8+7+0+6=21

(विषम स्थानों वाले संख्याओं का योग) – (सम स्थानों वाले संख्याओं का योग)

21-12=9

संख्या 8179026, 11 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा ।

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Fundamental Maths Topic (बेसिक गणित का टॉपिक )

1. संख्या और अंक (Number and Digit)
2. संख्या रेखा (Number Line)
3. संख्याओं की परिभाषा (Definition of Numbers)
4. विभाज्यता का नियम (Rule of Divisibility)
5. भारतीय और अंतरराष्ट्रीय संख्या पद्धति (Indian and International Number System )
6. भिन्न ,अनुपात और प्रतिशत (Fraction, Ratio and Percentage)
7. ऐकिक नियम (Unitary method)
8. अभाज्य गुणनखंड,गुणज,अपवर्तक,समापवर्तक, अपवर्त्य,समापवर्त्य, HCF, LCM
9. घातांक और घात (Exponent and Power)
10. लाभ और हानि (Profit and Loss)
11. दशमलव (Decimals)
12. आकृतियों, कोणों, रेखाओं (Shapes, Angles, Lines )
13. पूर्णांक (Integers)
14. वर्गमूल (Square Root)
15. घनमूल (Cube root )