विभाज्यता का नियम ( Rules of Divisibility) बेसिक गणित का आत्मा है । जो पढाई कर रहा है और इस टॉपिक को अभी तक नहीं पढ़ा है उसे कभी-न-कभी विभाज्यता का नियम पढ़ना ही पड़ेगा ।
विभाज्यता (Divisibility) का नियम का मतलब होता है । कौन-सी संख्या किस-किस संख्या से पूर्ण विभाजित होगी इसका नियम ।
तो चलिए डिटेल में जानते हैं । यहाँ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 और 11 संख्याओं से कौन -कौन-सी संख्याएँ पूर्ण विभाजित हो सकती है। इसके बारे बताऊंगा आगे सभी संख्याओं के बारे में जानने की जरूरत नहीं है इतना जानने के बाद आप खुद-ब-खुद निकल सकते हैं ।
1 से विभाज्यता का नियम
किसी भी संख्या में 1 से पूर्ण विभाजित हो जाता है । 1 से विभाज्यता का कोई नियम नहीं है । हरेक संख्या का गुणनखंड 1 हो सकता है ।
2 से विभाज्यता का नियम
दो से ऐसी संख्या विभाजित हो सकती है ,जिस संख्या के इकाई अंक (अंतिम अंक) के स्थान पर 0,2,4,6 और 8 में से कोई भी एक एक रहें ।
दूसरा तरीका है 2 के विभाज्यता को जांच करने के लिए 2 से उस संख्या में भाग दीजिए अगर पूर्ण रूप से भाग लग जाये तो वह संख्या 2 से विभाजित होगा । जैसे:-
| संख्याएँ | 2 से विभाजित है या नहीं |
| 4360 | यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है ,क्योंकि 4360 संख्या के इकाई अंक में 0 है । |
| 76453 | यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित नहीं है, क्योंकि 76453 संख्या के इकाई अंक में 3 है । |
| 768 | यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है, क्योंकि 768 संख्या के इकाई अंक में 8 है। |
| 6576 | यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है, क्योंकि 6576 संख्या के इकाई अंक में 6 है। |
| 7654 | यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है , क्योंकि 7654 संख्या के इकाई अंक में 4 है। |
| 5782 | यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है, क्योंकि 5782 संख्या के इकाई अंक में 2 है । |
| 567829 | यह संख्या 2 से पूर्ण विभाजित नहीं है , क्योंकि 567829 संख्या के इकाई अंक में 9 है। |
3 से विभाज्यता का नियम
किसी भी संख्या के सभी अंकों का योग अगर 3 से पूर्ण विभाजित हो जाये तो वह संख्या भी 3 से पूर्ण विभाजित होगा । जैसे:-
| संख्याएँ | 3 से विभाजित है या नहीं |
| 4360 | 4+3+6+0=13 , 13÷3=? इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है, इसलिए 4360 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है। |
| 76453 | 7+6+4+5+3=25 , 25÷3=? इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है, इसलिए 76453. संख्या 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है।। |
| 768 | 7+6+8=21, 21÷3=7 इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित है, इसलिए 768 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित है। |
| 6576 | 6+5+7+6=24 , 24÷3=8 इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित है, इसलिए 6576 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित है। |
| 7654 | 7+6+5+4=22 , 22÷3=? इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है, इसलिए 7654 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है। |
| 5781 | 5+7+8+1=21, 21÷3=7 इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित है,इसलिए 5781 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित है। |
| 567829 | 5+6+7+8+2+9=37 , 37÷3=? इस संख्या के अंकों का योग 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है, इसलिए 567829 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है। |
4 से विभाज्यता का नियम
किसी भी संख्या के अंतिम दो अंक (दहाई और इकाई ) 4 से विभाजित है तो वह संख्या 4 से विभाजित हो जाएगा।
| संख्याएँ | 4 से विभाजित है या नहीं |
| 4360 | 4360 संख्या का अंतिम दो अंक 60 है । और 60÷4=15, 60, 4 से पूर्ण विभाजित है। इसलिए 4360 संख्या 4 से पूर्ण विभाजित होगा । |
| 76453 | 76453 संख्या का अंतिम दो अंक 53 है । और 53÷4=?, 53, 4 से पूर्ण विभाजित नहीं है। इसलिए 76453 संख्या 4 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा । |
| 768 | 768 संख्या का अंतिम दो अंक 68 है । और 68÷4=?, 68, 4 से पूर्ण विभाजित नहीं है। इसलिए 768 संख्या 4 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा । |
5 से विभाज्यता का नियम
किसी भी संख्या के इकाई अंक पर (अंतिम अंक) सिर्फ 5 या 0 रहने पर ही वह संख्या 5 से विभाजित होता है।
| संख्याएँ | 5 से विभाजित है या नहीं |
| 780 | 780 संख्या के इकाई अंक 0 है इसलिए संख्या 780 ,5 से पूर्ण विभाजित होगा। |
| 565 | 565 संख्या के इकाई अंक 5 है इसलिए संख्या 565, 5 से पूर्ण विभाजित होगा। |
| 705 | 705 संख्या के इकाई अंक 5 है इसलिए संख्या 705, 5 से पूर्ण विभाजित होगा। |
| 687 | 687 संख्या के इकाई अंक 7 है इसलिए संख्या 687, 5 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा। |
6 से विभाज्यता का नियम
वैसी संख्या जो 2 और 3 दोनों से पूर्ण विभाजित हो ,वह संख्या 6 से पूर्ण विभाजित होगा।
| संख्याएँ | 6 से विभाजित है या नहीं |
| 510 | 510 संख्या 2 और 3 से पूर्ण विभाजित है। इसलिए 510 ,6 से भी पूर्ण विभाजित होगा । |
| 760 | 760 संख्या 2 से पूर्ण विभाजित है लेकिन 3 से पूर्ण विभाजित नहीं है इसलिए 760 , 6 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा। |
| 801 | 801 संख्या 3 से पूर्ण विभाजित है लेकिन 2 से पूर्ण विभाजित नहीं है। इसलिए 801, 6 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा । |
7 से विभाज्यता का नियम
किसी भी संख्या के अंतिम अंक (इकाई अंक) को 5 से गुना कर बाकी बची संख्या को जोड़ने पर जो प्राप्त होता है वह अगर 7 से विभाजित हो जाए तो वह संख्या 7 से विभाजित होगा ।
जैसे :- 512 :- 51+2×5=61 यहाँ 61 संख्या 7 से विभाजित नहीं होगा इसलिए 512, 7 से विभाजित नहीं होगा ।
364 :- 36+4×5=56 यहाँ 56 संख्या 7 से विभाजित है इसलिए 364, 7 से विभाजित होगा।
8 से विभाज्यता का नियम
किसी भी संख्या के अंतिम तीन अंक (सैकड़ा,दहाई,इकाई) अगर 8 से पूर्ण विभाजित है तो वह संख्या 8 से पूर्ण विभाजित होगा।
| संख्याएँ | 8 से विभाजित है या नहीं |
| 9008 | 9008 संख्या के अंतिम तीन अंक 008 (008÷8=1) 8 से पूर्ण विभाजित है। इसलिए 9008 संख्या 8 से पूर्ण विभाजित होगा। |
| 7864 | 7864 संख्या के अंतिम तीन अंक 864 (864÷8=108) 8 से पूर्ण विभाजित है । इसलिए 7864 संख्या 8 से पूर्ण विभाजित होगा। |
| 7861 | 7861 संख्या के अंतिम तीन अंक 861 (861÷8=?) 8 से पूर्ण विभाजित नहीं है। इसलिए 7861 संख्या 8 से पूर्ण विभाजित होगा । |
9 से विभाज्यता का नियम
किसी भी संख्या के सभी अंकों का योग अगर 9 से पूर्ण विभाजित हो जाये तो वह संख्या भी 9 से पूर्ण विभाजित होगा।
| संख्याएँ | 9 से विभाजित है या नहीं |
| 7965 | 7+9+6+5=27, यह 9 से पूर्ण विभाजित होगा । क्योंकि सभी अंकों को जोड़कर 27 हुआ और 27 में 9 से पूर्ण भाग लग जाता है । 27÷9=3 |
| 7843 | 7+8+4+3=22, यह 9 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा। क्योंकि सभी अंकों को जोड़कर 22 हुआ और 22 में 9 से पूर्ण भाग नहीं लगता है। 22÷9=? |
| 8172 | 8+1+7+2=18, यह 9 से पूर्ण विभाजित होगा । क्योंकि सभी अंकों को जोड़कर 18 हुआ और 18 में 9 से पूर्ण भाग लग जाता है । 18÷9=2 |
10 से विभाज्यता का नियम
किसी भी संख्या के अंतिम अंक (इकाई का अंक) 0 हो तो ही वह संख्या 10 से पूर्ण विभाजित होगा ।
| संख्याएँ | 10 से विभाजित है या नहीं |
| 890 | 890 संख्या के अंतिम अंक 0 है इसलिए यह संख्या 10 से पूर्ण विभाजित होगा। |
| 879 | 879 संख्या के अंतिम अंक पर 0 नहीं है इसलिए यह संख्या 10 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा। |
| 800 | 800 संख्या के अंतिम अंक पर 0 है इसलिए यह संख्या 10 से पूर्ण विभाजित होगा। |
11 से विभाज्यता का नियम
किसी भी संख्या के सम स्थानों वाले अंकों का योग और विषम स्थानों वाले अंकों के योग का अंतर (घटाव) 0 या 11,22,33… हो तो वह संख्या 11 से विभाजित होगा ।
जैसे :-
उदाहरण I :- 857912
- पहला स्थान (विषम ) – 8
- दूसरा स्थान (सम ) – 5
- तीसरा स्थान (विषम ) – 7
- चौथा स्थान (सम ) – 9
- पाँचवाँ स्थान (विषम ) – 1
- छठा स्थान (सम ) – 2
सम स्थानों वाले संख्याओं का योग :- 5+9+2=16
विषम स्थानों वाले संख्याओं का योग :- 8+7+1=16
(विषम स्थानों वाले संख्याओं का योग) – (सम स्थानों वाले संख्याओं का योग)
16-16=0
संख्या 857912 , 11 से पूर्ण विभाजित होगा ।
उदाहरण II :- 8179026
- पहला स्थान (विषम ) – 8
- दूसरा स्थान (सम ) – 1
- तीसरा स्थान (विषम ) – 7
- चौथा स्थान (सम ) – 9
- पाँचवाँ स्थान (विषम ) – 0
- छठा स्थान (सम ) – 2
- सातवां स्थान (विषम ) – 6
सम स्थानों वाले संख्याओं का योग :- 1+9+2=12
विषम स्थानों वाले संख्याओं का योग :- 8+7+0+6=21
(विषम स्थानों वाले संख्याओं का योग) – (सम स्थानों वाले संख्याओं का योग)
21-12=9
संख्या 8179026, 11 से पूर्ण विभाजित नहीं होगा ।