समांतर श्रेढ़ियाँ (A.P.) Class 10 maths Chapter 5

यह Class 10 के गणित का पाँचवा चैप्टर है। चैप्टर का नाम है ” समांतर श्रेढ़ियाँ “। ये चैप्टर क्लास 10 में नया चैप्टर है। class 11 का चैप्टर है। लेकिन इसे क्लास 10 में बेसिक रूप से जोड़ा गया है। इस क्लास में इस चैप्टर का बेसिक जानकारी मिलेगी।

श्रेढ़ियाँ क्या है ?

इसे उदाहरण से समझते हैं। इसके बारे में आप शुरू से जानते है लेकिन छोटे बच्चों को सीरीज वाले सवाल सॉल्व करने के लिए दिया जाता है।

(i) 5 ,10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 ……..

ये सभी संख्या सीरीज में लिखा गया है। एक दूसरे संख्या के बीच का अंतर 5 का है। इसलिए इसे सीरीज कहेंगे ।

(ii) 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16 …….

यह संख्या भी सीरीज में लिखा गया है। पहले 1 का अंतर है उसके बाद 2 का अंतर फिर 1 का अंतर फिर 2 का अंतर

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22 …….

ये संख्या भी सीरीज में लिखा गया है। पहली संख्या में 1 जोड़ा गया जो मिला उसे 2 जोड़ा गया फिर जो मिला उसमें 3 जोड़ा गया यह भी एक तरह से सीरीज में ही लिखा गया है।

समांतर श्रेढ़ियाँ [Arithmetic Progressions]

कुछ उदाहरण नीचे दिया गया है। इस उदाहरण को देखें

  • 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ………
  • 100, 70, 40, 10, ……………..
  • -3, -2, -1, 0, ……………………
  • 3, 3, 3, 3, ………………………
  • -1.0, -1.5, -2.0, -2.5, ……….

ये सभी सीरीज है। इस सीरीज में प्रत्येक संख्या को पद (term) कहलाता है।

यहाँ प्रत्येक सीरीज में देख सकते हैं।

  1. पहला सीरीज में 1 का अंतर है। 1 जोड़-जोड़ कर आगे वाले संख्या निकाल है।
  2. दूसरा सीरीज में -30 का अंतर है। 30 घटा-घटा कर आगे वाला संख्या निकाला गया है।
  3. तीसरे सीरीज में 1 का अंतर है । 1 जोड़-जोड़ कर आगे वाला संख्या निकाला है।
  4. चौथे सीरीज में 0 का अंतर है। आगे वाला संख्या 0 जोड़कर निकाला गया है।
  5. पांचवे सीरीज में – 0.5 जोड़कर आगे वाला संख्या निकाला गया है।

इन सभी सीरीज में एक समान संख्या का अंतर है । इसलिए इसे समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression , A.P ) कहा जाता है। समांतर श्रेढ़ी के पदों को a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a n से डिनोट किया जाता है।

  • 1st term : पहला पद a1
  • 2nd term : दूसरा पद a2
  • 3rd term : तीसरा पद a3
  • 4th term : चौथा पद a4
  • 5th term : पांचवा पद a5 ………
  • n th term : n वाँ पद a n

सार्व अंतर (Common Difference)

:- समांतर श्रेढ़ी में दूसरे पद में से पहले पद को घटा कर सार्वअंतर (Common Difference) निकाला जाता है।

जैसे :- 100, 70, 40, 10, ……………..

  • पहला पद (a1) = 100
  • दूसरा पद (a2) = 70

सार्व अंतर (Common Difference,C.D) = a2 – a1

= 100 – 70

= 30

सार्व अंतर ऐसे ही निकाला जाता है।

सीरीज दो तरह का होता है। पहला, परिमित (finite) सीरीज दूसरा , अपरिमित (Infinite).

परिमित समांतर श्रेढ़ी (Finite Arithmetic Progressions) :

वैसी सीरीज जिसका अंत हो जाये उसे परिमित समांतर श्रेढ़ी कहते हैं। जैसे : 2, 4, 6, 8, 10 यह परिमित समांतर श्रेढ़ी हैं। क्योंकि यह सीरीज प्रथम पद 2 से शुरू होता है और अंतिम पद 10 तक जाता है।

अपरिमित समांतर श्रेढ़ी (Finite Arithmetic Progressions) :

वैसी सीरीज जिसका अंत न हो उसे अपरिमित समांतर श्रेढ़ी कहते हैं। जैसे : 2, 4, 6, 8, 10 ……….. यह अपरिमित समांतर श्रेढ़ी हैं। क्योंकि यह सीरीज प्रथम पद 2 से शुरू होता है और अंतिम पद अनन्त तक जाता है।

● A.P का nवां पद

अगर प्रथम पद a और सार्व अंतर d वाली A.P. का n वाँ पद a n = a+(n-1)d होता है। यह एक फार्मूला है। अगर पहला पद दिया रहता है और सार्व अंतर दिया रहता है तो कोई भी पद निकाला जा सकता है इस फॉर्मूला से । एक उदाहरण के द्वारा समझते हैं।

नोट :- समांतर श्रेढ़ी चैप्टर में यह बेसिक फार्मूला है। इस फार्मूला से a n पद, सार्व अंतर (d) निकाल सकते हैं।

उदाहरण 1 : किसी A.P में प्रथम पद 6 और सार्व अंतर 3 हो तो 100 वाँ पद निकालें ।

हल : यहाँ a = 6 और d = 3 है और n=100 तो a100 निकलेंगे । इसके लिए हम फॉर्मूला a n = a+(n-1)d का यूज करेंगे ।

a100 = 6 + (100-1)×3

a100 = 6 + 99×3

a100 = 6 + 297

a100 = 303

उदाहरण 2 : किसी A.P. : 2, 7, 12, 17, …… का 10 वाँ पद क्या होगा ?

हल : यहाँ a=2, d=7-2= 5 और n=10 है। हम जानते हैं कि फार्मूला a n = a + (n-1)d है। इसलिए इस फार्मूला का उपयोग हम इस सवाल को हल करने में करेंगे।

a10 = 2 + (10-1)7 = 2+9×7 =2+63 =65 यहाँ 65 दसवाँ पद होगा।

● A.P के प्रथम n पदों का योग

A.P के प्रथम n पदों का जोड़ कैसे निकालते हैं ? इसका फॉर्मूला होता है। जैसे :- a1, a2, a3, a4, a5, …… a n एक समांतर श्रेढ़ी है। इनके सभी पदों का योग का फार्मूला S=n/2[2a+(n-1)d] है। या अगर सवाल में प्रथम पद और अंतिम पद दिया रहता है तो S=n/2[a+a n] फॉर्मूला लगा कर सवाल को हल कर सकते हैं।

इसमें S = सभी पदों का जोड़ है। n = पदों की संख्या है। a = प्रथम पद है । d = सार्व अंतर है।

उदाहरण 1 : A.P. : 8, 3, -2, …. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात करें।

हल : यहाँ a = 8, d= 3-8 = -5 और n = 22 है। इसलिए हम यहाँ A.P. के पदों के जोड़ वाला फॉर्मूला लगाएंगे। S=n/2[2a+(n-1)d]

S=22/2[2×8+(22-1)×-5] =11[16 + 21×-5] = 11[16-105] =11×-89 =-979

उदाहरण 2 : यदि किसी A.P.के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है और इसका प्रथम पद 10 है तो 20 वाँ पद ज्ञात करें ।

हल : यहाँ S14 =1050, n=14 और a=10 हैं।

S n=n/2[2a+(n-1)d]

1050 = 14/2 [20+(14-1)d]

1050 = 7 [20+13d]

1050 =140+91d

1050-140 =91d

910 = 91d

910/91=d

10=d

अब d=10 ,a=10

a20 = a+(n-1)d

a20 = 10 + (20-1)×10

a20 =10 + 19×10

a20 = 10+190

a20 = 200

सारांश और सूत्र

  • सार्व अंतर (Common Difference,C.D) = दूसरा पद – पहला पद
  • समांतर श्रेढ़ी के पदों को a1, a2, a3, a4, a5, a6, … a n से डिनोट किया जाता है।
  • अगर प्रथम पद a और सार्व अंतर d वाली A.P. का n वाँ पद a n = a+(n-1)d होता है।
  • A.P. के सभी पदों का योग का फार्मूला S=n/2[2a+(n-1)d] या S=n/2[a+a n] है।

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Class 10 Maths Topic (थ्योरी )

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