द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) Class 10 math Chapter 4

यह Class 10 के गणित का चौथा चैप्टर है। चैप्टर का नाम है ” द्विघात समीकरण “. अगर आप इससे पहले तीन चैप्टर नहीं पढ़ें हैं तो वो तीन चैप्टर पहले पढ़िए । मैंने तीनों चैप्टर के बारे में डिटेल से लिखा है ।

नीचे टॉपिक मिल जाएगा । उसको पढ़िए उसके बात इस चैप्टर को पढ़िए। अगर पिछले चैप्टर को नहीं पढ़ेंगे तो यह चैप्टर आपके समझ में नहीं आएगा ।

द्विघात समीकरण चैप्टर बहुत ही महत्वपूर्ण चैप्टर है। यह चैप्टर आगे क्लास के भी काम आएगा । और दूसरे गणित में भी द्विघात समीकरणों का उपयोग होता है।

द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

वैसा बहुपद जिसका अधिकतम घात 2 हो उसे द्विघात बहुपद कहते हैं और इस बहुपद को अगर शून्य (0) से तुल्य कर देते हैं तो उसे द्विघात समीकरण कहा जाता है।

चर x में एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार की होती है। यहाँ a,b,c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a≠0 है।

इस तरह से परीक्षा में कुछ उदाहरण दे दिया जाता है और उस पर ऑब्जेक्टिव सवाल पूछा जाता है बताओ इनमें से कौन द्विघात समीकरण है? मुझे लगता है इस तरह के ऑब्जेक्टिव अब आप आराम से हल कर पाएंगे ।

x² +√x +5 = 0 , क्या यह समीकरण द्विघात समीकरण है आप इस समीकरण में देखेंगे चर x पर अधिकतम घात 2 है। लेकिन यह द्विघात समीकरण नहीं है क्योंकि यह बहुपद नहीं है । कोई भी द्विघात समीकरण होने के लिए सबसे पहले बहुपद होना चाहिए । बहुपद के बारे में मैंने डिटेल से बताया है अगर आप नहीं समझ रहे हैं तो सबसे पहले बहुपद वाले चैप्टर को पढ़ें ।

समीकरण (equation) का हल

अगर कोई समीकरण लिखा है तो उसे हम हल कर सकते हैं और हल करने की अलग-अलग विधि होती है। लेकिन इस चैप्टर में हम सिर्फ द्विघात समीकरण का हल करना सीखेंगे ।

इस चैप्टर में द्विघात समीकरण को हल करने के लिए दो विधि बताई गई है। पहला है, गुणनखंडों द्वारा द्विघात समीकरण का हल और दूसरा है, पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण का हल । तो चलिए एक एक कर दोनों विधि से द्विघात समीकरण को हल करने के बारे में जानते हैं ।

गुणनखंडों द्वारा द्विघात समीकरण का हल

गुणनखंडों द्वारा द्विघात समीकरण का हल करने से पहले कुछ बातें जाननी जरूरी है । मैं नीचे पॉइंट में लिख रहा हूं आप इसे हमेशा ध्यान में रखें ।

• किसी भी समीकरण में 2 पक्ष होते हैं बाया पक्ष (Laft Hand Side – LHS ) और दाहिना पक्ष (Right Hand Side ).
• बहुपद चैप्टर में आपने शुन्यक के बारे में पढ़ा होगा । मैंने भी पढ़ाया है सुनने के बारे में जिस तरह से बहुपद में सुनने होता है उसी तरह से द्विघात समीकरण में मूल होता है मतलब मूल और शुन्यक दोनों एक ही शब्द है ।
• जो मान समीकरण को संतुष्ट करता है उसे मूल कहा जाता है मूल को द्विघात समीकरण में अल्फा, बीटा, गामा जैसे चिन्हों से डिनोट किया जाता है । अल्फा, बीटा, गामा जैसे चिन्हों को हम यहां इस पोस्ट में नहीं लिख सकते हैं क्योंकि कीबोर्ड में इस तरह का फीचर्स नहीं दिया गया है इसीलिए हम नीचे इमेज के माध्यम से आपको बता देते हैं ।

अगर इस चैप्टर में प्रश्न पूछा जाए तो आपसे यह पूछा जाएगा कि गुणनखंड द्वारा समीकरण के मूल ज्ञात करें । यहां मूल ज्ञात करने के लिए कहा जाएगा तो आप लोगों को कंफ्यूजन नहीं रहनी चाहिए । इसका मतलब यह होता है की समीकरण को हल कीजिए । गुणनखंड विधि द्वारा बोला जा रहा है करने तो गुणनखंड का जो भी होता है उसी के द्वारा हम हल करेंगे ।

वैसे 9 क्लास में द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि द्वारा किस तरह से हल किया जाता है इसके बारे में अच्छी तरह से बताया गया है लेकिन मैं यहां फिर से आपको वह सारी स्टेप बताऊंगा ।

सबसे पहले चित्र के माध्यम से द्विघात समीकरण में क्या-क्या होता है और किस पद को क्या कहते हैं वह समझ लीजिए ।

1. जब भी द्विघात समीकरण दिया जाएगा तो उसमें तीन पद होंगे और बराबर देकर 0 लिखा रहेगा आप इस उदाहरण को देख सकते हैं 2x² + 5x + 3 = 0
2. वैसे अगर बराबर के बाद 0 नहीं है तो आपको एक स्टेप हल करना पड़ेगा और बराबर के बाद सुनने लिखना पड़ेगा उसके बाद गुणनखंड विधि द्वारा हल शुरू करेंगे । जैसे 2x² + 5x + 3 = 2 है । इस समीकरण का एक स्टेप ऐसे लिखा जाएगा । 2x² + 5x + 3 – 2 = 0 या, 2x² + 5x + 1 = 0
3. द्विघात समीकरण में अगर इस तरह से 3 पद हो तो उसे गुणनखंड विधि द्वारा हल करने के लिए 4 पदों में विभक्त करना पड़ता है।
4. विभक्त करने के लिए हम बीच वाले पद को दो भागों में बांटते हैं दो भागों में बांटने का कुछ नियम होता है ।
5. मध्य वाले या कहें बीच वाले पद को योज्यखंड में विभाजित करते हैं। जैसे 5x बीच वाले पद है। इस पद को ऐसे तोड़ेंगे जिससे दोनों पदों को गुना करने पर इस समीकरण में बचे पदों का गुणनफल हो जाये । जैसे : 5x को 4x +x ,3x +2x, 6x-x ,7x-2x ,8x-3x इत्यादि पदों में विभाजित कर सकते हैं लेकिन, इनमें से कोई एक ऐसा होना चाहिए जो 6x² (2x² × 3) हो जाएं क्योंकि आप समीकरण को देखिए 2x² + 5x + 3 = 0 है। इसलिए 3x+2x लेंगे। 2x² + 3x + 2x + 3 = 0
6. इस तरह से द्विघात समीकरण में 4 पद बन जाता है तो हम सभी पदों को इस तरह से सजाते हैं दो जोड़े पदों में से कॉमन लिया जाए । x(2x + 3) + 1(2x + 3) = 0
7. अब फिर से दो व्यंजक पद हो गए इस व्यंजक पद में से भी कॉमन लेंगे । (2x + 3)(x + 1) = 0
8. यह कॉमन लेने के बाद ही इस द्विघात समीकरण में दो व्यंजक पद गुणनखंड के रूप में आ जाते हैं । इसके बाद दोनों व्यंजक पदों को बारी-बारी से हम शून्य के तुल्य करते हैं उसके बाद हमें दो मूल प्राप्त होते हैं यही द्विघात समीकरण का हल होता है ।(2x + 3)= 0 ,(x + 1) = 0 यहां दो हल -3/2 और -1 होंगे ।

आप स्टेप बाय स्टेप पढ़ लिए होंगे लेकिन उतना समझ में नहीं आया होगा इसलिए हम एक द्विघात समीकरण को हल करके दिखाते हैं ।

• 1st step : 2x² + 5x + 3 = 0
• 2nd step : 2x² + 3x + 2x + 3 = 0 (मध्य वाले पद को दो भागों में बांटा )
• 3rd step : x(2x + 3) + 1(2x + 3) = 0 (दो पदों की जोड़ी से कॉमन लिए )
• 4th : (2x + 3)(x + 1) = 0 (फिर दो व्यंजक पदों में कॉमन लिए )
• 5th : (2x + 3)= 0 ,(x + 1) = 0 ( फिर दोनों व्यंजक पदों को शून्य के बराबर किये )
• 6th : x = -3/2 और x = -1 होगा।

क्या समीकरण 2x² + 5x + 1 = 0 हल गुणनखंड विधि से निकाल सकते हैं ! कुछ ऐसे समीकरण होते हैं जिसका हल गुणनखंड विधि से नहीं निकलता है। उसके लिए दूसरे विधि का इस्तेमाल करना पड़ता है।

द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल

द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने से जुड़े प्रश्न लगभग में 10वीं की परीक्षा में नहीं पूछा जाता है। लेकिन हमें नियम पता होनी चाहिए । और इसका मतलब पता होना चाहिए । सवाल को हल करना थोड़ा कठिन इसलिये होगा कि हरेक प्रश्नों को हल करने से पहले सोचना पड़ेगा और खंडों में ऐसे तोड़ना होगा की (a-b)² या (a+b)² या a²-b² के सूत्र पर आ जाये । और इसी सूत्र की मदद से समीकरण को हल कर पाएंगे।

जैसे : समीकरण x²+4x का हल पूर्ण वर्ग बनाकर हल कैसे होगा । नीचे हरेक स्टेप को देखें और समझें।

x²+4x = (x²+4/2x) +4/2x

= x²+2x +2x

= (x+2) x + 2 × x

= (x+2) x + 2 × x + 2×2 -2×2

= (x+2) x + (x +2 ) ×2 – 2×2

= (x+2)(x+2) – 2×2

= (x+2)(x+2) – 4

x²+4x -5 = (x+2)(x+2) – 4 -5 = (x+2)² -9

इस प्रकार , x²+4x -5 = 0 को पूर्ण वर्ग बना कर (x+2)² -9 =0 लिखा जा सकता है। इसी तरह से पूर्ण वर्ग बनाया जाता है। अब ऐसे आराम से हल किया जाता है।

x²+4x -5 = 0 को

(x+2)² -9 =0 लिख सकते हैं

(x+2)² – 3² =0 ( a² – b² के रूप में लिखा गया है।)

(x +2 + 3 ) (x+2 – 3) = 0 {सूत्र से a² – b² = (a+b)(a-b) }

(x+5)(x-1) = 0

इसलिए , x+5 = 0 लिखने पर x = -5 होगा । और x-1 = 0 लिखने पर x = 1 होगा ।

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा भी द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है इसके लिए एक व्यापक रूप होता है । व्यापक रूप का मतलब वह एक के सूत्र होता है । उस सूत्र की मदद से आप पूर्ण विधि द्वारा आराम से दीघा समीकरण को हल कर पाएंगे तो चलिए देख लेते हैं क्या है सूत्र ।

द्विघात समीकरण का व्यापक रूप या कहीं दूर घात समीकरण को किस रूप में लिखा जाता है । ax² +bx+ c = 0 ( a≠0 ) यह द्विघात समीकरण का व्यापक रूप है। मतलब कोई भी द्विघात समीकरण इसी रूप में लिखा रहता है। अगर इस रूप में नहीं लिखा है तो इसे इसी व्यापक रूप में लिख कर के हम नीचे लिखे सूत्र का उपयोग कर सकते हैं ।

ax² +bx+ c = 0 ( a≠0 ) (द्विघात समीकरण का व्यापक रूप)

x² +(b/a)x+ c/a = 0 ( a≠0 ) (ऐसे भी लिख सकते हैं)

(x + b/2a)² – (b² – 4ac)/4a²= 0

उदाहरण : द्विघात समीकरण x²+4x -5 = 0 को पूर्ण वर्ग बनाकर हल करें ।

हल :- x²+4x -5 = 0

इस समीकरण में a=1 , b = 4 और c = -5 है।

(x + b/2a)² – (b² – 4ac)/4a²= 0 (पूर्ण वर्ग बनाने का सूत्र)

(x + 4/2×1)² – (4²-4×1× -5)/4×1² = 0

(x + 4/2)² – (16 +20)/4 = 0

(x +2)² – 9 = 0

इस तरफ से हल किया जा सकता है ।

किसी द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाने वाले सूत्र की मदद से हम मूल ज्ञात कर सकते हैं । अगर हम इस सूत्र को आगे स्टेप बाय स्टेप तोड़े तो हमें मूल ज्ञात होगा तो हम यहां डायरेक्ट मूल लिख देते हैं इस मूल को आप याद रखेंगे यह एक मूल ज्ञात करने का सूत्र हुआ ।

अतः यदि b² -4ac ≥ 0 है, तो द्विघात समीकरण ax² +bx+ c = 0 के मूल {-b ± √(b²-4ac)}/2a होगा ।

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के {-b ± √(b²-4ac)}/2a सूत्र को द्विघाती सूत्र (quadratic formula) कहते हैं ।

उदाहरण : x² -3x + 1 = 0 का मूल ज्ञात करें ?।

हल : हम द्विघात समीकरण x² -3x + 1 = 0 का मूल सूत्र की मदद से ज्ञात करते हैं ।

x² -3x + 1 = 0 में a = 1, b = -3 और c = 1 है।

अतः b² -4ac ≥0 , (-3)² -4 × 1 × 1 =5 > 0 है इसलिये हम सूत्र का उपयोग करते हैं।

x = (3± √5)/2 { सूत्र से {-b ± √(b²-4ac)}/2a }

इसलिए मूल x = (3-√5)/2 और x = (3+ √5)/2 होगा ।

मूलों की प्रकृति

द्विघात समीकरण ax² +bx+ c = 0 के लिए मूल {-b ± √(b²-4ac)}/2a होगा ।

ऐसे द्विघात समीकरण में दो मूल निकलेंगे । और हो सकता है दोनों मूल बराबर होंगे ,हो सकता है दोनों मूल एक दूसरे से अलग होंगे या मूल निकलेगा ही नहीं । इसके लिए कुछ नियम होता है चेक करने के लिए आप इससे पता लगा सकते है।

1. अगर दोनों मूल अलग-अलग होंगे तो b²-4ac > 0 (b²-4ac का मान शून्य से हमेशा बड़ा होगा । )
2. अगर दोनों मूल बराबर होंगे तो b²-4ac = 0 (b²-4ac का मान शून्य के बराबर होगा । )
3. अगर कोई मूल निकलेगा ही नहीं तो b²-4ac < 0 (b²-4ac का मान शून्य से छोटा होगा । )

सारांश और सूत्र

• द्विघात समीकरण का व्यापक रूप ax² + bx + c = 0 प्रकार की होती है। यहाँ a,b,c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a≠0 है।
• द्विघात समीकरण को दो विधि द्वारा हल किया जा सकता है। पहला गुणनखंड विधि द्वारा और दूसरा द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग द्वारा हल।
• गुणनखंड विधि द्वारा हल कैसे करते हैं ऊपर नियम बताया गया है ।
• द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग द्वारा हल करने के लिए (x + b/2a)² – (b² – 4ac)/4a²= 0 (पूर्ण वर्ग बनाने का सूत्र)
• द्विघात समीकरण के दो मूल को अल्फा और बीटा से डिनोट करते हैं।
• द्विघात समीकरण ax² +bx+ c = 0 के लिए मूल {-b ± √(b²-4ac)}/2a होगा ।
• यहाँ अल्फा = {-b – √(b²-4ac)}/2a और बीटा = {-b + √(b²-4ac)}/2a होगा ।
• मूल की तीन रूप हो सकता है।
• अगर अगर दोनों मूल अलग-अलग होंगे तो b²-4ac > 0 होगा।
• अगर दोनों मूल बराबर होंगे तो b²-4ac = 0 होगा।
• अगर कोई मूल निकलेगा ही नहीं तो b²-4ac < 0 होगा ।

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