किसी भी राशि को दो बार गुना करते हैं। और गुणा करके जो गुणनफल निकलता है । तो यह राशि वह उस गुणनफल का वर्गमूल कहलाता है। जैसे :-
8 × 8 = 64 , यहाँ 64 का वर्गमूल 8 होगा। इसी तरह से नीचे कुछ संख्याओं का वर्गमूल दिया गया है। आप टेबल में देख सकते हैं।
| संख्या | वर्ग-गुणा | वर्गमूल |
| 1 | 1×1 | 1 |
| 4 | 2×2 | 2 |
| 9 | 3×3 | 3 |
| 16 | 4×4 | 4 |
| 25 | 5×5 | 5 |
| 36 | 6×6 | 6 |
| 49 | 7×7 | 7 |
| 64 | 8×8 | 8 |
| 81 | 9×9 | 9 |
| 100 | 10×10 | 10 |
| 121 | 11×11 | 11 |
| 144 | 12×12 | 12 |
| 169 | 13×13 | 13 |
| 196 | 14×14 | 14 |
| 225 | 15×15 | 15 |
| 256 | 16×16 | 16 |
| 289 | 17×17 | 17 |
| 324 | 18×18 | 18 |
| 361 | 19×19 | 19 |
| 400 | 20×20 | 20 |
वर्गमूल चिह्न
जैसे जोड़ का चिह्न ‘ + ‘ होता है। घटाव का चिह्न ‘-‘ होता है । गुणा का ‘×’ होता है। भाग का चिह्न ‘÷’ होता है। इसी तरह वर्गमूल का भी एक प्रकार का चिह्न होता है। वर्गमूल का चिह्न ‘√’ होता है। इसको रूट भी कहा जाता है। अगर किसी संख्या इस रूट के अंदर रहता है तो इसका मतलब हमें वर्गमूल निकलना होता है।
वर्गमूल निकालने की विधि
किसी भी संख्या का वर्गमूल दो विधि से निकला जा सकता है। पहला है भाग विधि इसमें भाग करके वर्गमूल निकाला जाता है। वहीं दूसरा गुणनखंड विधि से निकाला जाता है। चलिये दोनों विधि से एक-एक करके वर्गमूल निकलते हैं।
भाग विधि से वर्गमूल
जैसे संख्या 40 है और इसका भाग विधि द्वारा वर्गमूल निकलना है। इसके लिए सबसे पहले हमें यह सोचना पड़ेगा कि संख्या 40 किसी संख्या का वर्ग होगा या नहीं अगर नहीं है तो 40 से कम कोई संख्या जिसका पूर्ण वर्ग हो।
यहाँ हम पाते हैं कि 40 किसी भी संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है। 40 से छोटी एक संख्या 36 है जिसका वर्ग 6 है। तो अब हम इस 6 से ही वर्ग भाग करेंगे। 40 में से 36 को घटाएंगे। तो 4 मिलेगा। अब 12 से 4 में वर्ग भाग नहीं कर सकते हैं। क्योंकि 12 , 4 से बड़ा है। इसलिए 4 शेष हो गया । यह पूर्ण वर्ग नहीं है।
| 6 +6 | 40 -36 | 6 |
| 12 | 04 |
यहाँ 89569 का वर्गमूल भाग विधि से निकलते है
| 2 +2 | 89569 -4 | 299 |
| 49 +9 | 495 -441 | |
| 589 +9 | 05469 -5301 | |
| 598 | 0168 |
सबसे पहले संख्या 89569 को दायां साइड से जोड़ा में लिखते हैं। 8 95 69 अब बयां साइड में जो संख्या बेजोड़ा या जोड़ा में रहता है उसमें किसी संख्या से वर्ग भाग करते हैं। यहाँ बेजोड़ा संख्या 8 है।
इसमें 2 के वर्ग से भाग लगेगा। क्योंकि 2 का वर्ग 4 होगा। वहीं 3 का वर्ग 9 होगा। ऊपर के टेबल में देख सकते हैं। बयां साइड 2 को 2 के साथ नीचे जोड़ कर लिख दिया जाता है। वहीं 2 को 2 से गुणा करके 4 होता है।
इस चार को 8 के साथ घटा देंगे। फिर दाएं साइड में 2 बार में लगाये हैं तो 2 लिखना होता है। नीचे 8 में से 4 घटाने पर 4 बचेगा। अब 4 के बाद ऊपर से जोड़ा सांख्य 95 को 4 पर लिखेंगे तो 495 हो जाएगा।
बयां साइड 2 और 2 को जोड़ने से 4 मिलता है। अब इस 4 पर कोई 0 से 9 तक का संख्या लिख कर उसी संख्या से गुणा करेंगे और पता करेंगे कि 495 से घटेगा की नहीं। यहाँ पर 4 पर 9 संख्या देने पर और 9 से गुणा करने पर 441 मिलता है।
यह 441 संख्या 495 से घट जाएगा। 9 बार में भाग दिए हैं तो दायां साइड 9 लिखेंगे। इसी तरह से आगे चलते जाता है। जब तक कि ऊपर के सभी संख्या न उतर जाए।
यहाँ 89569 के वर्गमूल निकलने पर शेष में 168 मिलता है जिसका वर्गमूल नहीं होगा। इसलिए यह अपूर्ण वर्गमूल होगा। अगर शेष 0 मिलता है तो वह पूर्ण वर्ग होता है।
गुणनखंड विधि से वर्गमूल
गुणनखंड विधि से वर्गमूल बनाने के लिए आपको सबसे पहले विभाज्यता का नियम और अभाज्य गुणनखंड सीखना पड़ेगा। इसके बारे में, मैं डिटेल से बताया हूँ। आप सबसे पहले इसको देख लीजिए। उसके बाद यह नियम जानेंगे तो अच्छा होगा।
इस विधि में जिस संख्या का वर्गमूल निकलना होता है उसका अभाज्य गुणनखंड निकलते हैं। उसके बाद जोड़ा संख्या को लिखते हैं और गुणा करते हैं। यही गुणनफल वर्गमूल कहलाता है। जैसे यहाँ एक उदाहरण देख सकते हैं।
संख्या 1000 का वर्गमूल अभाज्य गुणनखंड विधि से निकालें ?
| 2 | 1000 |
| 2 | 500 |
| 2 | 250 |
| 5 | 125 |
| 5 | 25 |
| 5 | 5 |
| 1 |
यहाँ , 1000 = 2×2×2×5×5×5
1000 का वर्गमूल = 2×5 × √5 ×√2
= 10× √10 होगा।
पूर्ण वर्गमूल
कुछ संख्या ऐसी होती है जिसका वर्गमूल पूर्णरूप से निकल जाता है। उसे पूर्ण वर्ग कहा जाता है। जैसे :-
| संख्या | वर्ग | वर्गमूल | पूर्ण वर्ग (हाँ/नहीं) |
| 4 | 2×2 | 2 | हाँ |
| 9 | 3×3 | 3 | हाँ |
| 8 | 2×2×2 | नहीं | |
| 16 | 4×4 | 4 | हाँ |
4 का वर्ग 2×2 है इसलिए इसका वर्गमूल 2 होगा। यह पूर्ण वर्ग होगा । वहीं 9 का वर्ग 3×3 है इसलिए इसका वर्गमूल 3 होगा। 8 का गुणनखंड 2×2×2 है। तो वर्गमूल 2 √2 होगा। तो 8 का पूर्ण वर्गमूल नहीं निकला।
अपूर्ण वर्गमूल
कुछ संख्या ऐसी होती है जिसका वर्गमूल पूर्णरूप से नहीं निकाला जाता है। उसे अपूर्ण वर्ग कहा जाता है। जैसे :-
| संख्या | वर्ग | वर्गमूल | अपूर्ण वर्ग (हाँ/नहीं) |
| 27 | 3×3×3 | 3√3 | हाँ |
| 9 | 3×3 | 3 | नहीं |
| 8 | 2×2×2 | 2√2 | हाँ |
| 16 | 4×4 | 4 | नहीं |
27 का गुणनखंड 3×3×3 है इसलिए इसका वर्गमूल 3√3 होगा। यहाँ यह पूर्ण वर्ग नहीं है क्योंकि एक 3 रूट के अंदर ही रह गया है।