घातांक और घात (Exponent and Power) बेसिक गणित (fundamental maths ) का बहुत ही महत्वपूर्ण चैप्टर में से एक है। अगर इस चैप्टर का अच्छे से ज्ञान हैं तो आप बड़े-बड़े सवाल को चुटकियों में हल कर सकते हैं।
घातांक और घात (Expontent and Power) class 8 के NCERT गणित के 12 अध्याय में भी है। तो अगर आप Class 8th में हैं तो आपके लिए भी ये पोस्ट हैं । मैंने बहुत सरल तरीका से पूरा समझा दिया है। अगर कोई किताब से पढ़ेंगे तो आपको समझ में नहीं आएगी।
मैंने किताबों का टॉपिक तो लिया है लेकिन भाषा और समझने का तरीका मेरा अपना है। Class 8 और Class 7 में भी यह चैप्टर है। तो चलिए जानते हैं ।
डिटेल से घातांक और घात (Exponent and Power) के बारे में । सबसे पहले हम आपको बताएंगे कि घात क्या होता है ? और घातांक क्या होता है ? इसे जानने के बाद आप बहुत कुछ समझ जायेंगे । वैसे ये चैप्टर बहुत ही रोचक और हल्का है।
● घातांक (Exponent)
घातांक का परिभाषा देने से अच्छा है इसे उदाहरण के द्वारा समझने की कोशिश करते हैं।
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 क्या इतनी विस्तार से लिखी संख्या को छोटा रूप में नहीं लिख सकते हैं। या तो आप गुना करके लिख सकते हैं जिसमें समय लगेगा। दूसरा तरीका है घातांक के रूप में लिखा जा सकता है जो तुंरत लिखा जा सकता है। घातांक में एक सामन संख्या को लिखा जा सकता है।
घातांक तरीका से 2¹¹ लिख सकते हैं। मतलब जो संख्या है उसे आधार बना कर उसके ऊपर जितनी बार उस संख्या को गुना किया गया है उसे लिख दिया जाता है।
यहाँ 2 को 11 बार गुना किया गया है। इसलिए मैंने 2 को आधार माना और उसके ऊपर 11 लिख दिया।
यहाँ 2¹¹ में 2 को आधार कहा जायेगा। और 11 को घातांक कहा जायेगा।
◆ आधार (base) :- जिस संख्या के ऊपर संख्या लिखा जाता है उसे आधार कहा जाता है।
◆ घातांक (exponent) :- आधार पर जो संख्या लिखा जाता है उसे घातांक कहा जाता है।
अगर a¹² लिखा है तो इसे लिखने का एक तरीका है a को 12 बार गुना कर दिया जाता है। a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a
| घातांक रूप में संख्या | विस्तार रूप में संख्या | संख्या |
| 1³ | 1×1×1×1 | 1 |
| 6⁵ | 6×6×6×6×6 | 7,776 |
| 8⁶ | 8×8×8×8×8×8 | 2,62,144 |
| 10⁶ | 10×10×10×10×10×10 | 1000000 |
| 32⁴ | 32×32×32×32×32 | 10,48,576 |
| 21⁴ | 21×21×21×21 | 1,94,481 |
| 7⁴ | 7×7×7×7 | 2,401 |
| 4⁷ | 4×4×4×4×4×4×4 | 16,384 |
| 9⁵ | 9×9×9×9×9 | 6,561 |
| 7³ | 7×7×7 | 343 |
| 8⁴ | 8×8×8×8 | 4,096 |
| 9³ | 9×9×9 | 729 |
| 7² | 7×7 | 49 |
| 5³ | 5×5×5 | 125 |
| 6² | 6×6 | 36 |
| 5² | 5×5 | 25 |
● घात (Power)
गणित में घातांक को कभी-कभी घात भी कहा जाता है। 8⁴ इसको पढ़ा जाएगा। 8 पर 4 का घात।
घात सिर्फ बोलने के लिए उपयोग में आता है। अगर पूछा जाए 8⁴ में कितना घात है ? तो बोला जाएगा 4 घात है।
● घात संख्याओं का जोड़
दो घात संख्याओं को कैसे जोड़ा जाता है। घात के जोड़ में कुछ स्थिति हो सकती है। नीचे उदाहरण के द्वारा बताया गया है।
- आधार आसमान और घातांक समान हो (a²+b²)
- आधार समान हो और घातांक भी समान हो (a²+a²)
- आधार समान हो और घातांक आसमान हो (a²+a³)
◆ आधार आसमान और घातांक समान हो (a²+b²) : इसे सामान्य तरीका से ही हल किया जाएगा। जैसे a²+b² है यहाँ a और b के जगह पर दूसरी संख्या को रखते हैं। 4²+5² = 4×4+5×5 =16+ 25= 41 होगा। और इस तरह से जो भी सवाल आएंगे वह भी ऐसे ही हल किये जायेंगे ।
◆ आधार समान हो और घातांक भी समान हो (a²+a²) : इसे सामान्य तरीका से ही हल किया जाएगा। जैसे a²+a² है यहाँ a के जगह पर दूसरी संख्या को रखते हैं। 4²+4² = 2×4² =2×16= 32 होगा। और इस तरह से जो भी सवाल आएंगे वह भी ऐसे ही हल किये जायेंगे ।
इसका सूत्र होगा a²+a² = 2a²
◆ आधार समान हो और घातांक आसमान हो (a²+a³) : इसे भी सामान्य तरीका से ही हल किया जाएगा। a²+a³ यहाँ a के जगह पर दूसरी संख्या को रखते हैं। 5²+5³ = 5×5+5×5×5= 5×5(1+5) =25×6 =150 होगा। अगर इस फ्रेम में कोई सवाल आता है तो जिसपे कम घात रहता है वह कॉमन लिया जाता है। और बाकी को वैसे लिख सकते हैं।
सूत्र होगा a²+a³ = a²(1+a)
● घात संख्याओं का घटाव
- आधार आसमान और घातांक समान हो (a²-b²)
- आधार समान हो और घातांक भी समान हो (a²-a²)
- आधार समान हो और घातांक आसमान हो (a²-a³)
◆ आधार आसमान और घातांक समान हो (a²-b²) : इसमें भी कोई फॉर्मूला की आवश्यकता नहीं है सिर्फ सामान्य तरीका से ही हल होगा। जैसे: 5²-4² = 5×5+4×4=25-16= 9 होगा।
◆ आधार समान हो और घातांक भी समान हो (a²-a²): अगर ऐसी स्थिति होती है तो इसका मान 0 होता है.. चलिए एक उदाहरण से समझते हैं। 5²-5² = 5×5-5×5 =25 – 25= 0 होगा।
इसका सूत्र आप लिख सकते हैं। a²-a²=0
◆ आधार समान हो और घातांक आसमान हो (a²-a³): इस तरह के सेचुएशन के लिए, 4²+5² = 4×4+5×5 =16+ 25= 41 होगा। और इस तरह से जो भी सवाल आएंगे वह भी ऐसे ही हल किये जायेंगे ।
◆ आधार समान हो और घातांक आसमान हो (a²-a³): इसे सामान्य तरीका से ही हल किया जाएगा। अगर इस फ्रेम में कोई सवाल आता है तो जिसपे कम घात रहता है वह कॉमन लिया जाता है।और बाकी को वैसे लिख सकते हैं। a²-a³ = a²(1-a).
● घात संख्यायों का गुणा
- आधार आसमान और घातांक समान हो (a². b²)
- आधार समान हो (a². a³)
◆ आधार आसमान और घातांक समान हो (a². b²) : a². b²=(ab)² अगर ऐसी स्थति रहती है तो आप (ab)² इसी तरह से हल करेंगे।
जैसे :
(4²× 6²) = (4 × 6 )²
16×36 =24²
576 = 576
इससे यह प्रूव हो जाता है कि मेरे द्वारा लिखा a². b²=(ab)² सूत्र सही है। मतलब इस तरह की अलग भी स्थिति आ सकती है। घात 2 के जगह दूसरा घात भी हो सकता है।
लेकिन सूत्र यही लागू होगा बस घात को चेंज कर देना है।a³. b³=(ab)³ अगर ऐसी स्थिति आये तो इस सूत्र के माध्यम से सवाल को बहुत जल्द हल कर पाएंगे।
एक उदाहरण लेते हैं।
2³ × 3³ = (2×3)³ =6³=6×6×6=216
◆ आधार समान हो (a². a³) : अगर आधार समन हो तो सांख्यओं के घातांक को जोड़ दिया जाता है। a². a³ =a²+³ =a⁵
एक उदाहरण से समझते हैं।
4³×4⁵=4³+⁵=4⁸
● घात संख्याओं का भाग
- आधार आसमान और घातांक समान हो (a²÷b²)
- आधार समान हो (a⁵÷a³)
◆ आधार आसमान और घातांक समान हो (a²÷b²) : अगर घातांक समान हो तो ऐसी स्थिति में (a/b)² लिख सकते हैं।
एक उदाहरण से समझते हैं।
2³/3³ =(2/3)³ =8/27
◆ आधार समान हो (a⁵÷a³): अगर आधार समान हो तो घातांक को घटा दिया जाता है। अंस वाले घातांक में से हर वाले घातांक को घटाया जाएगा। (a⁵÷a³) को a⁵/a³ भी लिख सकते हैं। इसमें अंस वाले घातांक a⁵ है और हर वाले घातांक a³ है।
a⁵/a³ = a⁵-³ =a²
एक उदाहरण से समझते हैं
6⁵/6³ =6⁵-³ =6² =36
● संख्या पर 1 घात (a¹)
किसी संख्या पर अगर 1 घात हो तो वह संख्या स्वयं होता है मतलब a¹ = a ही होगा।
उदाहरण :
| 1¹ | 1 |
| 2¹ | 2 |
| 3¹ | 3 |
| 4¹ | 4 |
| 5¹ | 5 |
| 6¹ | 6 |
| 7¹ | 7 |
| 8¹ | 8 |
| 9¹ | 9 |
| 10¹ | 10 |
● संख्या पर 0 घात (a⁰)
अगर किसी संख्या पर 0 (शून्य) घात होता है तो उसका मान 1 होता है। यह कैसे 1 होता है ? इसके बारे में मैंने नीचे इस वीडियो में बताया है। आप इस वीडियो को जरूर देखें।
| 1⁰ | 1 |
| 2⁰ | 1 |
| 3⁰ | 1 |
| 4⁰ | 1 |
| 5⁰ | 1 |
| 6⁰ | 1 |
| 7⁰ | 1 |
| 8⁰ | 1 |
| 9⁰ | 1 |
| 10⁰ | 1 |
● संख्या पर ऋणात्मक घात
किसी संख्या पर अगर ऋणात्मक घात हो तो उसका मान भिन्न के हर के रूप में लिखा जाता है। नीचे मैंने कुछ उदाहरण दिया है।
आखिर ऋणात्मक घात का मान भिन्न के हर के रूप में कैसे होता है ? इसके बारे में इस वीडियो में बताया गया है इस वीडियो को जरूर देखिए। (वीडियो अभी नहीं अपलोड किया गया है ) इस इमेज से आप समझ गए होंगे मेरे कहने का मतलब।
महत्वपूर्ण सूत्र
- a⁰ = 1
- a¹= a
- a² × a³ =a⁵
- à³÷a² =a¹
- (a²/b²) =(a/b)²