वृतों के बारे में मैंने डिटेल से इससे पहले वाले चैप्टर में पढ़ा चुका हूँ। इस चैप्टर में सिर्फ वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल का सूत्र बताएंगे और उस सूत्र से रिलेटेड कुछ सवालों को हल करेंगे।
क्षेत्रफल (Area)
इसे उर्दू में रक़बा भी कहते हैं। ज़मीन मापने वाला क्षेत्रफल को रक़बा ही कहते हैं। अगर कोई फ़ोटो 10 पिक्सेल (बिंदुओं) से बना हुआ है तो उस फ़ोटो का क्षेत्रफल 10 होगा।
अगर एक ईंट को फ़ोटो माने तो एक दिवाल जितने ईंटों से बनी होगी । वह सभी ईंट की संख्या क्षेत्रफल कहलायेगा। क्षेत्रफल के बारे में मैंने पहले भी डिटेल से बता दिया है। आप उसे देख सकते हैं।
वृत का परिमाप
वृत के चारों ओर के माप को परिमाप या परिधि (circumference) कहा जाता है।
वृत का परिमाप 2πr होता है। ( यहाँ, r वृत की त्रिज्या है। और π एक अचर राशि होता है इसका मान 3.1416 के लगभग होता है )
वृत का क्षेत्रफल
वृत का क्षेत्रफल मैंने पहले ही चैप्टर में बता दिया है πr² होता है।
चलिए वृत के परिमाप और क्षेत्रफल से जुड़े कुछ सवाल को देखते हैं
उदाहरण 1 : एक वृत्ताकार खेत पर ₹ 24 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ₹ 5280 है। इस खेत की ₹ 0.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से जुताई कराई जानी है। खेत की जुताई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
हल : प्रश्न का दो भाग है। पहले भाग से वृत के परिधि निकाल कर त्रिज्या निकलेंगे।
₹ 24 में —-1 मीटर बाड़ लगाया जाता है।
₹1 में ——-1/24 मीटर ,, ,, ,, ,,
₹5280 में — 1/24 ×5280 ,, ,, ,, ,,
= 220 मीटर बाड़
इसका मतलब वृत की परिधि 220 मीटर होगी।
वृत्ताकार खेत की परिधि = 220 मीटर
2πr = 220 मीटर
2 × 22/7 × r = 220 मीटर
r = 220 × 7/22 × 1/2 मीटर
r = 35 मीटर
अब वृत्ताकार खेत का क्षेत्रफल निकलना पड़ेगा।
πr² = 22/7 × 35 m × 35 m
= 3860 m²
अब, प्रश्न के अनुसार
1 m² खेत की जुताई का व्यय = ₹0.50
3860 m² ,, ,, ,, = 3860 × 0.50
= ₹1925 होगा।
त्रिज्याखंड और वृत खंड
त्रिज्याखंड और वृतखंड के बारे में मैंने पहले ही डिटेल से बता दिया है। यहाँ मैं सिर्फ सूत्र और उससे जुड़े कुछ उदाहरण देखेंगे।
अगर त्रिज्याखंड का कोण A हों तो त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = A/360 ×πr² होता है।
अगर त्रिज्याखंड का कोण A हों तो त्रिज्याखंड के संगत चाप की लंबाई = A/360 ×2πr होता है।
मैंने पिछले वृत के के चैप्टर में बताया था अगर आपको सूत्र याद न हो तब भी आप सवाल को हल कर सकते हैं।
उदाहरण : त्रिज्या 4 cm वाले एक वृत के त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 30° है। साथ ही संगत दीर्घ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 )
हल : इस सवाल को डायरेक्ट सूत्र के माध्यम से भी बना सकते हैं। और बिना सूत्र के एकीक नियम के माध्यम से भी बना सकते हैं।
वृत के छोटे (लघु) त्रिज्याखंड का कोण 30° दिया गया है। तो दीर्घ त्रिज्याखंड का कोण 360°- 30° = 330° होगा।
तो लघु त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = कोण/360°× πr²
=30°/360° × 3.14 × 4²
= 4.1866 cm² = 4.19 cm² लगभग
अब, दीर्घ त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = कोण/360°× πr² = 330°/360°×3.14×4²
= 46.05333 cm² = 46.1cm²
उदाहरण : एक 21 cm त्रिज्या वाले वृत है। उसमें 120° का त्रिज्याखंड काटा गया है। त्रिज्याखंड के कोण और त्रिज्याओं से मिलकर बने त्रिभुज को छोड़कर बाकी भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। {π =22/7 }
हल :- प्रश्न में क्या कहा गया है अगर आप नहीं समझे हैं तो आप नीचे चित्र के माध्यम से समझ सकते हैं। इस चित्र में जो रंगीन भाग का उसका क्षेत्रफल निकालने कहा जा रहा है।
सबसे पहले हम त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल निकलेंगे। उसके बाद जो ∆ (त्रिभुज) बन रहा है उसका क्षेत्रफल निकलेंगे। त्रिज्याखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज के क्षेत्रफल घटा देगें तो बचे भाग का क्षेत्रफल निकल जायेगा।
त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल = 120°/360° × 22/7 × 21 cm × 21cm
= 462 cm × cm
अब, जो मैंने चित्र में AOB त्रिभुज बनाया है। उस त्रिभुज में एक भुजा AB का लंबाई पता नहीं है। इससे पहले वृत के बारे में ,त्रिभुज के सर्वांगसाम के बारे में पता होगा।
भुजा AB से केंद्र O पर लंबा खीचेंगे। जिससे AOB त्रिभुज दो बराबर भाग में बंट जाएगा। दोनों त्रिभुज के लिए O केंद्र पर बना कोण 60° होगा। और दोनों त्रिभुज में OA और OB भुजा बराबर होंगे तो त्रिभुज के सर्वांगसाम नियम से लम्ब द्वारा विभाजित भुजा AM और BM भी बराबर होगा। अब त्रिकोणमिति के निमय से AM या MB का मान ज्ञात करेंगे। sin 60° = AM/OA
√3/2 = AM/21
AM = √3/2 ×21
यहाँ पर AM और BM बराबर है।
AB = AM + BM
AB = √3/2 ×21 + √3/2 ×21 (दोनों बराबर है)
AB = 2 ×21 ×√3/2
AB = 21 √3
अब MO की लंबाई भी ज्ञात करना पड़ेगा।
AMO एक समकोण त्रिभुज है। इसलिए OA²=OM² + AM²
21² = OM² + (21√3/2)²
OM² = 21² – (21√3/2)²
OM² = 441 – 441×3/4
OM² = 441 ( 1 -3/4)
OM² = 441 × 1/4
OM = √(21×21 × 1/2×1/2)
OM = 21/2
अब, त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = 1/2 × AB × OM
=1/2×21√3×21/2
= 441/4√3 cm²
बचे हुए भाग का क्षेत्रफल = (462 -441/4√3)cm²
=21/4(88-21√3) cm² ans.
Class 10 Maths Topic (थ्योरी )
- Chapter 1: वास्तविक संख्या (Real Numbers)
- Chapter 2: बहुपद (Polynomials)
- Chapter 3: दो चर वाले रैखिक युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)
- Chapter 4: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)
- Chapter 5: समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions)
- Chapter 6: त्रिभुज (Triangles)
- Chapter 7: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)
- Chapter 8: त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry)
- Chapter 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)
- Chapter 10: वृत (Circles)
- Chapter 11: रचनाएँ (Constructions)
- Chapter 12: वृतों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles)
- Chapter 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)
- Chapter 14: सांख्यकी (Statistics)
- Chapter 15: प्रायिकता (Probability)