निर्देशांक ज्यामिति (Co-ordinate Geometry) Class 10 maths Chapter 7

निर्देशांक ज्यामिति (Co-ordinate Geometry) class 10 के NCERT गणित का चैप्टर नंबर 7 है। निर्देशक ज्यामिति को क्लास 11th से लिया गया है। क्लास 11 में निर्देशांक ज्यामिति के बारे में बहुत अच्छी तरह से बताया गया है और इस क्लास में हम निर्देशांक ज्यामिति के बहुत ही बेसिक तत्व को समझेंगे।

खैर इस चैप्टर को पढ़ने के लिए आपको पिछले चैप्टर को पढ़ने की आवश्यकता नहीं है। लेकिन कुछ बेसिक कैलकुलेशन के लिए पिछले चैप्टर को देख लेंगे तो अच्छा होगा।

इस चैप्टर को पढ़ने के लिए 9 क्लास में एक चैप्टर है जो कि पढ़ना बहुत ही आवश्यक है। 9 क्लास में x-अक्ष ,y-अक्ष और संख्या रेखा के बारे में भी बताया गया है। सबसे पहले संख्या रेखा (Number Line) को पढ़ लीजिए ।

इससे पता चलेगा संख्याओं को किस तरह से व्यवस्थित किया जाता है । और संख्या रेखा पर कौन से साइड में आत्मक संख्या लिखी जाती है और कौन से साइड में धनात्मक संख्या लिखी जाती है। मैं उम्मीद करता हूं कि आप संख्या रेखा को पढ़ लिए होंगे तो चलिए अब आगे हम शुरुआत करते हैं।

● 2-D इमेज

कोई भी 2D इमेज बनाने के लिए दो संख्या रेखा की आवश्यकता होती है। मैं चित्र के माध्यम से भी नीचे बता देता हूं।

एक संख्या रेखा दाएं से बाएं होता है जिसको x-axis (x-निर्देशांक) कहा जाता है। दूसरी संख्या रेखा ऊपर से नीचे होती है जिसको वह y-axis (y-निर्देशांक) ) कहा जाता है।

2D इमेज बनाने के लिए इन दोनों संख्या रेखाओं या कहे इन दोनों निर्देशकों के बीच बिंदु दर्शाया जाता है। और उस बिंदु को मिलान किया जाता है । इस तरह से हम कोई भी 2D इमेज बना पाते हैं तो डी इमेज का मतलब होता है 2 डायमेंशन (भाग)।

डायमेंशन को भाग भी कहते हैं कोई भी अगर इमेज देखते हैं तो उसका दो भाग अगर दिखता है तो उसे हम 2D इमेज कहते हैं । नीचे चित्र के माध्यम से एक उदाहरण देकर मैं आपको समझा दिया हूं। आप देख सकते हैं यह 2D इमेज है।

◆ निर्देशांक (बिंदु)

वैसा बिंदु जहाँ X-निर्देशांक और Y-निर्देशांक के बिंदु मिलते हैं। इसको (6,7) , (-8,6) etc. तरीके से लिखा जाता है। इसमें पहला अंक X-निर्देशांक का होता है। जैसे :- (6,7) में 6 , X-निर्देशांक का अंक है। और दूसरा अंक 7 , Y- निर्देशांक का अंक है।

● x-निर्देशांक (भुज) (Abscisaa)

किसी प्लेन के बिंदु Y-अक्ष से दूरी तय करती है और X-अक्ष के सामने वाले संख्या x-निर्देशांक बनते हैं। ऊपर के इमेज में मेरे इन बातों को अच्छी तरह समझ सकते हैं। बिंदु P(4,3) है। इस बिंदु में 4 एक X- निर्देशांक कहलाएगा।

● y-निर्देशांक (कोटि) (Ordinate)

किसी प्लेन के बिंदु X-अक्ष से दूरी तय करती है और Y-अक्ष के सामने वाले संख्या y-निर्देशांक बनते हैं। ऊपर के इमेज में मेरे इन बातों को अच्छी तरह समझ सकते हैं। बिंदु P(4,3) है। इस बिंदु में 3 एक y- निर्देशांक कहलाएगा।

● दूरी सूत्र (Distance Formula)

दो निर्देशांक के बीच की दूरी निकलने के लिए दूरी के सूत्र का उपयोग किया जाता है। इस सूत्र को याद रखना जरूरी हैं। दूरी का सूत्र निकलना जटिल नहीं हैं। दोनों निर्देशांक को x और y एक्सिस में बैठते हैं उसके बाद एक समकोण त्रिभुज बनता है। उसके बाद पाइथागोरस थ्योरी का यूज़ कर के यह सूत्र निकाला जाता है। एक सवाल को हल करते हैं, इस सूत्र की मदद से।

Q.बिंदु P (4, 3) और बिंदु L(-3, 2) के बीच दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए ,PL की दूरी निकले।

हल:- दूरी के सूत्र के अनुसार PL= √[(4-(-3))²+(3-2)²]

=√[(4+3)²+1²]

=√[7²+1²]

=√[49+1]

=√50

=√(2×5×5)

=5√2 ans

● विभाजन सूत्र ( Division Formula)

दो बिंदुओं के बीच स्थित किन्हीं बिंदु को निकालना । यह विभाजन के सूत्र से निकाला जाता है। इसमें जो बिंदु निकाला जाता है उसके दोनों तरफ के बिंदुओं के बीच के दूरी का अनुपात दिया रहता है। इस अनुपात को m1 और m2 से डिनोट किया जाता है।

चलिये विभाजन के सूत्र का उपयोग करके एक सवाल को हल करते हैं।

Q.उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (4,-3) और (8,5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को आंतरिक रूप से 3:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल : माना P(x, y) एक बिंदु है जिसका मान निकलना है। विभाजन सूत्र का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होगा।

x=(3×8+1×4)/(3+1) =(24+4)/4=28/4=7

y=(3×5+1×-3)/(3+1) =(15-3)/4=12/4=3

यहाँ (x, y)=(7,3) ans

● त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area Of Triangle)

इस सुत्र की मदद से निर्देशांक वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाल सकते हैं। सबसे पहले दूरी के सूत्र की मदद से सभी भुजा का माप निकाल लीजिए उसके बाद हीरो के सूत्र का प्रयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाल सकते हैं। या फिर इस दिए गए सूत्र की मदद से भी त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाल सकते हैं।

Q.बिंदुओं A(5,2), B(4,7) और C(7,-4) से बनने वाले ∆ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

हल: शीर्षो A(5,2), B(4,7) और C(7,-4) वाले त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल है:

1/2[5(7+4)+4(-4-2)+7(2-7)]

=1/2[55-24-35]=-4/2=-2

क्षेत्रफल का माप ऋणात्मक नहीं होता है इसलिए इस त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा 2 वर्ग मात्रक ।

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