दो चर वाले रैखिक समीकरण (linear equation of two variable) Class 10 maths Chapter 3

class 10 का NCERT गणित का पहला और दूसरा चैप्टर मैंने कंप्लीट कर दिया है। आज हम आपको तीसरा चैप्टर “दो चर वाले रैखिक समीकरण” के बारे में पढ़ाएंगे ।

Note :- किसी भी चैप्टर को पढ़ने से पहले हैडलाइन का एक-एक शब्द को अच्छी तरह से समझ जाते हैं तो चैप्टर को पढ़ना आसान हो जाता है।

क्लास 9 और 8 में समीकरण के बारे में डिटेल से बताया गया है। जिसमें समीकरण के प्रकार, बीजीय व्यंजक ,चर, अचर इत्यादि। तो इस पोस्ट में सिर्फ दो चर वाले रैखिक समीकरण के बारे में बताएंगे।

चलिये जनते हैं दो चर वाले रैखिक के बारे में डिटेल से।

(A) दो चर वाले रैखिक समीकरण क्या होता है।

वैसा समीकरण जिसमें दो चर हो और वह रैखिक भी हो तो उसे दो चर वाले रैखिक समीकरण कहते हैं। सबसे पहले एक-एक शब्द के बारे में जानते हैं।

● चर (variable)

किसी भी (राशि) चीज को चर तब कहते हैं जब उसका मान बदल जाए। शायद मैंने चर के बारे में डिटेल से बताया है। खैर कोई बात नहीं मैं यहाँ फिर से बात देता हूँ।

जैसे :- N ; N का मतलब यहाँ प्राकृतिक संख्या है। तो हम N के जगह पर 1,2,3,4,5….. इत्यादि में से कुछ भी हो सकता है। इसलिए N को चर कहेंगे ।

एक और उदाहरण x लेते हैं। यहाँ x के जगह पर कुछ संख्या लिख सकते हैं या किसी का नाम भी लिख सकते हैं इसलिए x एक चर होगा । खासकर चर को a, b, c, d,e,…x, y.. से प्रदर्शित किया जाता है। वहीं 5 एक संख्या है और 5 के जगह पर कुछ और चीज नहीं हो सकता है। इसलिए 5,1,0,6,8,…. इत्यादि को अचर कहा जाता है।

● समीकरण (equation)

जैसे :- 5+2=7 यह एक समीकरण को दर्शाता है। समीकरण में = (बराबर) वाले चिह्न होता ही है। लेकिन बराबर के दोनों साइड बराबर मात्रा होना चाहिए तब उसे संतुलित समीकरण कहा जायेगा।

x²+1 अगर लिखा हुआ है तो इसे समीकरण नहीं कहा जायेगा। x²+1=0 यह समीकरण होगा। वैसे समीकरण के बारे में मैंने डिटेल से बताया है।

● रैखिक समीकरण (Linear equation)

किसी भी समीकरण का अधिकतम घात 1 हो तो उसे रैखिक समीकरण कहेंगे । जैसे :- x+5= 2 यह रैखिक समीकरण होगा । वहीं x²+1=0 रैखिक समीकरण नहीं होगा।

समीकरण का हल कैसे किया जाता है ?

गणित में जो भी समीकरण होता है उसे हल करने की विधि अलग-अलग होती है। जैसे एक चर वाले रैखिक समीकरण को हल की विधि अलग होती है। द्विघात समीकरण का हल अलग होता है। दो चर वाले ,तीन चर वाले इत्यादि के हल करने की विधि अलग होती है।

(B) दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

जैसा की नाम से ही पता है दो चर मतलब कोई भी ऐसा रैखिक समीकरण जिसमें दो चर हो उसे दो चर वाले रैखिक समीकरण कहेंगे।

जैसे :- 5y+x=4 यह दो चर वाले रैखिक समीकरण है। इसमें दो चर भी है और यह समीकरण रैखिक भी है।

परिभाषा :- वह समीकरण जिसको ax+by+c=0 के रूप में लिखा जा सकता है।जहाँ, a, b और c एक वास्तविक संख्या है। और a और b दोनों शून्य न हो।

5y+x=4 एक रैखिक समीकरण कैसे है?

इसको हम ax+by+c=0 के रूप में लिख सकते हैं।

5y+x=4

or, 5y+x-4=0

or, x+5y+(-4)=0

यहाँ, x का गुणांक 1 है इसलिए a=1 है।

y का गुणांक 5 है इसलिए b=5 है। और C के जगह पर -4 है, इसलिए c=-4 होगा।

एक उदाहरण लेते हैं 2x+3y=5 इस समीकरण में x=1 और y=1 रखते हैं।तो बयां साइड (LHS) में 2×1+3×1 होगा । इसको हल करेंगे तो 5 होगा । मतलब दायाँ साइड (RHS) भी 5 है।

तो हम कह सकते हैं कि x=1 और y=1 समीकरण 2x+3y=5 को संतुष्ट करता है इसलिए ये हल होगा ।

लेकिन समीकरण हल करने का यह तरीका तुक्का लगाना हुआ । क्योंकि मैंने यहाँ बहुत सारे मान रख-रख कर पाता किया है। तो ऐसे में हल करना तो मुश्किल हो सकता है।

इसलिए रैखिक समीकरण को हल करने का अलग-अलग तरीका निकाला गया है। जैसे ग्राफ के माध्यम से हल करना । या दूसरी विधि द्वारा हल करना । सभी विधियों को नीचे डिटेल में बताया गया है।

(C) रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल

एक उदाहरण से समझते हैं। यहां है रैखिक समीकरण युग्म इसका मतलब होता है दो रैखिक समीकरण ।

जैसे x+2y-4=0 और 2x+4y-12=0 है। इसे ग्राफ पर हल करना है।

सबसे पहले ,

समीकरण (1) x+2y-4=0 है । इसके लिए एक बॉक्स बनाना पड़ेगा।

हम समीकरण x+2y-4=0 में पहले x के जगह पर 0 मान रखा तो y= 2 निकल गया। फिर y के जगह पर 0 मान रखा तो x=4 निकल गया।

यहाँ मान निकलने में थोड़ी सावधानी रखनी चाहिए। ऐसी मान रखनी चाहिए जिससे कि दूसरे चर का मान दशमलव में न आये । मतलब सभी पूर्णांक संख्या ही हो। पूर्णांक संख्या रहने पर ग्राफ पर दर्शाने में आसानी होगी।

इसी तरह समीकरण (2) 2x+4y-12=0 है । इसके लिए भी एक बॉक्स बनाना पड़ेगा।

हम समीकरण 2x+4y-12=0 में पहले x के जगह पर 0 मान रखा तो y=3 निकल गया। फिर y के जगह पर 0 मान रखा तो x=6 निकल गया।

यहाँ हमें पहले समीकरण में (0,2) और (4,0) बिंदु प्राप्त हुए। और दूसरे समीकरण में (0,3) और (6,0) बिंदु प्राप्त हुए।

इस ग्राफ हल में देख सकते हैं। दोनों समीकरणों एक दूसरे को किसी बिंदु पर नहि काटती है। दोनों समानांतर हो गया है। मतलब इन दोनों समीकरणों का कोई भी हल नहीं होगा।

जब दो समीकरण एक दूसरे को ग्राफ कर किसी बिंदु पर कटेगा तो वही बिंदु दोनों समीकरणों का हल होगा ।

Note:- कोई भी बिंदु (4,8) लिखा है। तो पहला 4 को x का मान कहा जा सकता है। दूसरा 8 को y का मान कहा जायेगा।

दो समीकरणों को ग्राफ पर कैसे प्रदर्शित किया जाता है । इसके बारे में 9th क्लास में ही बताया गया होगा।

नीचे ये टेबल इमेज दिया जा रहा है। इस टेबल इमेज को अच्छी तरह से याद रखें दो समीकरणों किस स्थिति में हल होंगे ।

इस पर बहुत सारे सवाल पूछे जाते हैं। जैसे दोनों समीकरणों का हल सम्पती है या अपरिमित या केवल एक(अद्वतीय) या कोई हल नहीं है ।इसी टेबल की मदद से सारे सवाल हल किये जा सकते हैं।

(D) रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि

सभी समीकरणों का हल ग्राफीय विधि से नहीं किया जा सकता है। इसलिए कुछ और विधि की चर्चा की गई है।

● प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन का मतलब होता है एक समीकरण का मान दूसरे में रख देना ।

जैसे:- 9x-3y=2 और x+3y=5 है।

पहला समीकरण 9x-3y=2 से हम x का मान निकलते हैं।

9x-3y=2

or, 9x=2+3y

or, x=(2+3y)÷9

अब इस मान को दूसरा समीकरण में रखेंगे ।

x+3y=5

(2+3y)÷9 +3y=5

इससे y का मान निकल जायेगा । उसके बाद y के मान को पहला समीकरण या दूसरा समीकरण में रख देंगे । तो x का भी मान निकल जायेगा।

इसको पोस्ट में लिखना मुश्किल होता है इसलिए मैंने youtube channel पर बताया है। आप मेरे youtube चैनल पर जाकर देख सकते हैं।

● विलोपन विधि

विलोपन का मतलब होता है मिटाना । मतलब दो समीकरणों में जो दो चर रहेगा । उसमें से एक चर को विलोप कर देंगे । जिससे दूसरे चर का मान निकल जायेगा।

जैसे :- 9x+4y=2000

और 7x+3y=2000 है।

इसमें किसी एक चर को हम विलोप करेंगे । हम y को विलोप करेंगे । इसके लिए पहले समीकरण में y का गुणांक 4 है । इस 4 से दूसरे समीकरण को गुना कर देंगे । तो हमें दूसरा समीकरण ऐसा मिलेगा ।

28x+12y=8000 …..(a)

इसी तरह हम दूसरे समीकरण के y के गुणक से पहले समीकरण को गुना करेंगे । तो हमें मिलेगा।

27x+12y=6000……(b)

अब हम इस a वाले समीकरण से b वाले समीकरण को घटा देंगे।

(28x+12y)-(27x+12y)=8000-6000

Or, 28x+12y-27x-12y=8000-6000

Or, 28x-27x=2000

Or, x=2000

अब इस x का मान समीकरण एक में रखेंगे जिससे हमें y का मान मिल जाएगा।

समीकरण एक 9x+4y=2000 है।

अब, 9×2000+4y=2000

Or, 18000+4y=2000

Or, 4y=2000-18000

Or, y=-1600÷4

y=-4000

ऐसे ही विलोपन विधि से समीकरणों को हल किया जा सकता है।

● वज्र-गुणन विधि

वज्र गुणन का मतलब होता है। क्रॉस गुना करके दो समीकरणों को हल करना । इस विधि से हल करना थोड़ा टेक्निकल है। इसको पोस्ट के माध्यम से नहीं बताया जा सकता है। इसको यूट्यूब चैनल पर मैंने बताया है।

इसको के सूत्र के माध्यम से याद रखा जा सकता है।

(E) दो चरों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण

ये टॉपिक ऐच्छिक टॉपिक है । इससे सवाल नहीं आते हैं । लेकिन कॉम्पिटिशन में ऐसे सवाल हैं।

इसके ऐसे समीकरण होते हैं। जो रैखिक तो होते हैं । लेकिन सीधा नहीं होते हैं। उसे हल करने के लिए पहले समीकरण को दो चर वाले रैखिक समीकरणों में बदला जाता है उसके बाद उसे हल किया जाता है।

(F) सारांश और सूत्र

• रैखिक समीकरण के युग्म को व्यापक रूप में ऐसे लिखा जाता है।

• दो चर वाले रैखिक समीकरण को दो विधि से हल किया जाता है। पहला,ग्राफीय विधि द्वारा और दूसरा,बीजगणितीय विधि द्वारा ।
• ग्राफीय विधि में दो समीकरण को ग्राफ पेपर पर निरूपित किया जता है। उसके बाद हल किया जाता है। हल करने के बाद तीन स्थिति पैदा हो सकती है।
  • जब दो समीकरण किसी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है तो उसे दोनों समीकरणों का अद्वितीय हल कहते हैं।
  • दो समीकरणों का प्रत्येक बिंदु एक समान हो तो उसे सम्पती हल कहते हैं।
  • जब दोनों समीकरण किसी बिंदु पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती है तो उसे असंगत हल कहते हैं

• बीजगणितीय विधि से तीन तरीकों से हल किया जाता है।
  • प्रतिस्थापन विधि
  • विलोपन विधि
  • वज्र-गुणन विधि

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