class 10 maths chapter 1 exercise 1.1 solutions in hindi | प्रश्नावली 1.1

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1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिये:

(i) 135 और 225

(ii) 196 और 38220

(iii) 867 और 225

हल :- (i) 135 और 225

[सबसे पहले इन दोनों का HCF भाग विधि से ज्ञात करें फिर उसे यूक्लिड विभाजन प्रमेय पर सेट करें  ]

यहाँ छोटी संख्या 135 है इसलिये इसे a मानते हैं और बड़ी संख्या 225 को b मानते हैं ।

तब यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से

a=b × q + r

225=135×1+90 

135=90×1+45 

90=45×2+0

यहाँ r =0 हो गया।  इसलिए HCF=45 होगा। 

हल:- (ii) 196 और 38220

[सबसे पहले इन दोनों का HCF भाग विधि से ज्ञात करें फिर उसे यूक्लिड विभाजन प्रमेय पर सेट करें  ]

यहाँ छोटी संख्या 196 है इसलिये इसे a मानते हैं और बड़ी संख्या 38220 को b मानते हैं ।

तब यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से

a=b × q + r

38220 =196×195+0 

यहाँ r =0 हो गया।  इसलिए HCF=195 होगा। 

 

हल:- (iii) 867 और 225

[सबसे पहले इन दोनों का HCF भाग विधि से ज्ञात करें फिर उसे यूक्लिड विभाजन प्रमेय पर सेट करें  ]

यहाँ छोटी संख्या 225 है इसलिये इसे a मानते हैं और बड़ी संख्या 867 को b मानते हैं ।

तब यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से

a=b × q + r

867=225×1+192

225=192×1+33 

192=33×5+17

33=17×1+16

17=16×1+1

16=16×1+0

यहाँ r =0 हो गया।  इसलिए HCF=16 होगा। 

2. दर्शाइए कि कोई धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है ,जहाँ q कोई पूर्णांक है।

हल:- [सबसे पहले आपको यहाँ धनात्मक विषम पूर्णांक जानना चाहिए क्या होता है ]
माना कोई धनात्मक विषम पूर्णांक a है ।
और माना , b=6
 [ b= 6 इसलिए माने क्योंकि प्रश्न में 6q+1 या 6q+3 या 6q+5 संख्या है। b के जगह पर 6 है ]
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
a=bq+r
a=6b+r, [ यहाँ q धनात्मक पूर्णांक है और r का मान 0≤r<6]
तो यहाँ r=0,1,2,3,4 और 5 ही होगा ।
जब r=0, a=6q
जब r=1, a=6q+1
जब r=2, a=6q+2
जब r=3, a=6q+3
जब r=4, a=6q+4
जब r=5, a=6q+5
यहाँ प्रश्न के अनुसार a एक धनात्मक विषम पूर्णांक है । 6q, 6q+2 और 6q+4, धनात्मक सम पूर्णांक है । और 6q+1, 6q+3, और 6q+5 धनात्मक  विषम पूर्णांक होगा । 

3.किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक सेना बैंड के पीछे मार्च करना है । दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है । उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है , जिसमें वे मार्च कर सकते हैं ?

हल:- सेना की पहली टुकड़ी में सदस्यों की संख्या =616 है ।
सेना की दूसरी टुकड़ी में सदस्यों की संख्या = 32 है ।
मान लिया कि a=616 और b=32 (क्योंकि 32 छोटा है इसलिए b माना)
अब दोनों का यूक्लिड विभाजन विधि से HCF निकलना है ।
[यूक्लिड विभाजन विधि से HFC निकालने के लिए सबसे पहले भाग विधि से HCF निकाल ले उसके बाद उसे सूत्र पर बैठा दें ]
a=bq+r
616=32×19+8
32=8×4+0
यहाँ शेष 0 हो गया । इसलिए 616 और 32 का H.C.F.=8 होगा ।
अतः  अधिकतम स्तम्भों की संख्या 8 होगी जिसमें सेना की दोनों टुकड़ियां मार्च कर सकती है ।

4.युक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग , किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m+1 के रूप का होता है ।

हल:- माना कि a धनात्मक पूर्णांक है ।
माना, b=3 [b=3 इसलिए माना क्योंकि प्रश्न में 3m या 3m+1 संख्या दिया है ।]
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से ,
a=bq+r
a=3q+r, [ यहाँ q एक धनात्मक पूर्णांक है तथा 0≤r<3
r=0,1,2 ही हो सकता है ।
Case-I
जब r=0 , a=3q , a²=9q²,a²=3(3q²)
Case-II
जब r=1 , a=3q+1, a²=(3q+1)²,a²=9q²+6q+1=3(3q²+2q)+1
Case-III
जब r=2 , a=3q+2, a²=(3q+2)²=9q²+12q+4=3(3q²+4q+1)+1
यहाँ,
case-I में a²=3m, जहाँ m=3q²
case-II में a²=3m+1, जहाँ m=3q²+2q
case-III में a²=3m+1, जहाँ m=3q²+4q+1
अतः हम कह सकते हैं कि किसी धन पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m+1 के रूप का होगा , जहाँ m एक पूर्णांक है ।

5.यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m,9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है ।

हल:- माना एक धनात्मक पूर्णांक a है था दूसरा धनात्मक पूर्णांक b=3 है ।[ यहाँ b=9 इसलिए मान सकते थे लेकिन शला लिया क्योंकि घन संख्या 9m,9m+1 या 9m+8 दिया गया है ]

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से,
a=bq+r
 r=0,1,2 और 3 होगा ।
जब r=0, a=3q
a³=(3q)³
a³=9(3q³)
a³=9m [m=3q²]
जब r=1, a=3q+1, 
a³=(3q+1)³
a³=27q³+3.9q²+3.3q+1³
a³=9(3q³+3q²+q)+1
a³=9m+1 [m=3q³+3q²+q]
जब r=2, a=3q+2
a³=(3q+2)³
a³=27q³+6.9q²+4.9q+2³
a³=9(3q³+6q²+4q)+8
a³=9m+8 [m=3q³+6q²+4q]
इस तरह हम पाते हैं कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m,9m+1 या 9m+8 के रूप में होता है ।
यहाँ प्रश्न जब अनुसार a एक धनात्मक विषम पूर्णांक है । 6q, 6q+2 और 6q+4, धनात्मक सम पूर्णांक है । और 6q+1, 6q+3, और 6q+5 धनात्मक  विषम पूर्णांक होगा । 

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